ID: 00019510
В электрической цепи, схема которой изображена на рисунке, сила тока через источник сразу после замыкания ключа в $n = 3$ раза больше силы тока, установившейся спустя большое время после этого замыкания. Установившийся заряд на конденсаторе ёмкостью $C = 0{,}5$ мкФ равен $q = 2$ мкКл. Найдите ЭДС $\mathscr{E}$ источника.
Источник: ФИПИ
Сравним два «снимка» цепи: сразу после замыкания ключа и спустя долгое время. В эти моменты конденсатор ведёт себя по-разному — это и даёт связь между токами, а значит между $R$ и $r$.
Конденсатор ещё пуст, напряжение на нём равно нулю. Но он подключён параллельно резистору $R$, поэтому и на $R$ напряжение нулевое — ток через резистор пока не идёт, весь ток уходит на зарядку конденсатора. Значит начальный ток ограничен только внутренним сопротивлением: $I_0=\dfrac{\mathscr{E}}{r}$.
Конденсатор зарядился — ток в его ветку больше не течёт. Весь ток идёт через резистор: $I_\infty=\dfrac{\mathscr{E}}{R+r}$.
По условию $I_0=n\,I_\infty$: $\dfrac{\mathscr{E}}{r}=n\,\dfrac{\mathscr{E}}{R+r}\Rightarrow \dfrac{R+r}{r}=n\Rightarrow R=(n-1)r=2r$.
Установившееся напряжение на конденсаторе равно напряжению на резисторе $R$: $U_C=I_\infty R=\dfrac{\mathscr{E}R}{R+r}=\mathscr{E}\,\dfrac{n-1}{n}$. Из заряда находим его численно: $U_C=\dfrac{q}{C}=\dfrac{2}{0{,}5}=4$ В. Тогда $\mathscr{E}=U_C\,\dfrac{n}{n-1}=4\cdot\dfrac{3}{2}=6$ В.
$\mathscr{E} = 6$ В