ID: 00019507
В зазоре между полюсами электромагнита вращается с угловой скоростью $\omega = 100$ с$^{-1}$ проволочная рамка в форме полуокружности радиусом $r = 5$ см, содержащая $N = 20$ витков провода. Ось вращения рамки проходит вдоль оси $O$ рамки и находится вблизи края области с постоянным однородным магнитным полем с индукцией $B = 1$ Тл (см. рисунок), линии которого перпендикулярны плоскости рамки. Концы обмотки рамки замкнуты через скользящие контакты на резистор с сопротивлением $R = 25$ Ом. Пренебрегая сопротивлением рамки, найдите тепловую мощность, выделяющуюся в резисторе.
Источник: ФИПИ
Вращающаяся в поле рамка — это маленький генератор: на ней наводится переменная ЭДС с амплитудой $\varepsilon_0 = NBS\omega$. Хитрость задачи в словах «ось у края поля»: за один оборот рамка лишь половину времени находится в поле, а вторую половину — снаружи, где ЭДС нет. Из-за этого средняя мощность вдвое меньше, чем у обычного генератора.
Площадь полукруга $S = \dfrac{\pi r^2}{2}$. Амплитуда ЭДС вращающейся рамки $\varepsilon_0 = NBS\omega = NB\,\dfrac{\pi r^2}{2}\,\omega$.
Когда рамка в поле, ЭДС идёт по синусу $\varepsilon = \varepsilon_0\sin(\omega t)$; когда выходит из поля — ЭДС нет. Усредняя квадрат такой «полуволновой» ЭДС по полному обороту, получаем $\langle \varepsilon^2\rangle = \dfrac{\varepsilon_0^2}{4}$ (вдвое меньше обычного $\frac{\varepsilon_0^2}{2}$). Тогда тепловая мощность $P = \dfrac{\langle \varepsilon^2\rangle}{R} = \dfrac{\varepsilon_0^2}{4R}$.
$S = \dfrac{\pi (0{,}05)^2}{2} \approx 3{,}93\cdot 10^{-3}$ м$^2$; $\varepsilon_0 = 20\cdot 1\cdot 3{,}93\cdot 10^{-3}\cdot 100 \approx 7{,}85$ В; $P = \dfrac{(7{,}85)^2}{4\cdot 25} \approx 0{,}62$ Вт.
$P \approx 0{,}62$ Вт