ID: 00019507
В зазоре между полюсами электромагнита вращается с угловой скоростью \omega = 100 с^{-1} проволочная рамка в форме полуокружности радиусом r = 5 см, содержащая N = 20 витков провода. Ось вращения рамки проходит вдоль оси O рамки и находится вблизи края области с постоянным однородным магнитным полем с индукцией B = 1 Тл (см. рисунок), линии которого перпендикулярны плоскости рамки. Концы обмотки рамки замкнуты через скользящие контакты на резистор с сопротивлением R = 25 Ом. Пренебрегая сопротивлением рамки, найдите тепловую мощность, выделяющуюся в резисторе.
Источник: ФИПИ
Вращающаяся в поле рамка — это маленький генератор: на ней наводится переменная ЭДС с амплитудой \varepsilon_0 = NBS\omega. Хитрость задачи в словах «ось у края поля»: за один оборот рамка лишь половину времени находится в поле, а вторую половину — снаружи, где ЭДС нет. Из-за этого средняя мощность вдвое меньше, чем у обычного генератора.
Площадь полукруга S = \dfrac{\pi r^2}{2}. Амплитуда ЭДС вращающейся рамки \varepsilon_0 = NBS\omega = NB\,\dfrac{\pi r^2}{2}\,\omega.
Когда рамка в поле, ЭДС идёт по синусу \varepsilon = \varepsilon_0\sin(\omega t); когда выходит из поля — ЭДС нет. Усредняя квадрат такой «полуволновой» ЭДС по полному обороту, получаем \langle \varepsilon^2\rangle = \dfrac{\varepsilon_0^2}{4} (вдвое меньше обычного \frac{\varepsilon_0^2}{2}). Тогда тепловая мощность P = \dfrac{\langle \varepsilon^2\rangle}{R} = \dfrac{\varepsilon_0^2}{4R}.
S = \dfrac{\pi (0{,}05)^2}{2} \approx 3{,}93\cdot 10^{-3} м^2; \varepsilon_0 = 20\cdot 1\cdot 3{,}93\cdot 10^{-3}\cdot 100 \approx 7{,}85 В; P = \dfrac{(7{,}85)^2}{4\cdot 25} \approx 0{,}62 Вт.
Ответ: P \approx 0{,}62 Вт
P \approx 0{,}62 Вт