ID: 00019497
Цилиндрическая катушка из проволоки сопротивлением $R = 5$ Ом, состоящая из $N = 500$ витков с площадью сечения каждого витка $S = 1$ см², замкнута накоротко, и её вращают вокруг вертикальной оси, перпендикулярной оси катушки, с угловой скоростью $\omega = 314$ рад/с в однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией $B = 0{,}2$ Тл. Какую среднюю мощность необходимо развивать для поддержания такого вращения? Индуктивностью катушки и всеми потерями на трение можно пренебречь.
Источник: ФИПИ
Катушку вращают в магнитном поле — это генератор: магнитный поток сквозь витки всё время меняется, поэтому в катушке наводится ЭДС индукции. На сопротивлении $R$ выделяется тепло, и, раз трения нет, именно это тепло и должна восполнять механическая мощность. Значит, искомая средняя мощность равна средней тепловой мощности на сопротивлении.
Потокосцепление меняется по закону $\Psi = NBS\cos(\omega t)$, а ЭДС — это скорость его изменения: $\varepsilon = -\dfrac{d\Psi}{dt} = NBS\omega\sin(\omega t)$. Амплитуда $\varepsilon_0 = NBS\omega = 500\cdot 0{,}2\cdot 1\cdot10^{-4}\cdot 314 \approx 3{,}14$ В (площадь перевели в СИ: $1$ см² $= 1\cdot10^{-4}$ м²).
Ток $i = \varepsilon/R$, его амплитуда $i_0 = \varepsilon_0/R$. Средняя за период тепловая мощность синусоидального тока вдвое меньше максимальной: $P = \dfrac{i_0^2 R}{2} = \dfrac{\varepsilon_0^2}{2R} = \dfrac{(3{,}14)^2}{2\cdot 5} \approx 0{,}99$ Вт.
$P \approx 0{,}99$ Вт $\approx 1$ Вт