ID: 00019496
Цилиндрическая катушка длиной $l = 10$ см, состоящая из $N = 1000$ витков тонкого провода, равномерно намотанного на каркас, имеет сопротивление $R = 50$ Ом и площадь каждого витка $S = 1$ см$^2$. Концы обмотки соединены накоротко. Катушка движется вдоль своей оси со скоростью $v = 0{,}5$ м/с и попадает в область с однородным магнитным полем с индукцией $B = 2$ Тл, линии которой направлены под углом $\alpha = 60^\circ$ к оси катушки (см. рисунок). Какой заряд $\Delta Q$ протечёт через обмотку катушки спустя время $T = 0{,}1$ с после попадания переднего торца катушки в область с магнитным полем?
Источник: ФИПИ
Протекший заряд связан не с самим током в каждый момент, а с полным изменением потокосцепления: $\Delta Q = \dfrac{\Delta\Psi}{R}$. Катушка въезжает в поле постепенно, поэтому за время $T$ в поле успеет оказаться лишь часть витков. Нужно посчитать, сколько витков вошло, и какой поток ловит каждый из них.
За время $T$ передний торец продвинулся на $x = vT = 0{,}5\cdot 0{,}1 = 0{,}05$ м (это 5 см из 10 см длины). Витки намотаны равномерно с плотностью $n = \dfrac{N}{l}$, поэтому в поле оказалось $N' = n\,x = \dfrac{N}{l}\,vT$ витков.
Нормаль витка направлена вдоль оси катушки, а поле наклонено к оси под углом $\alpha$. Значит, поток через один виток $\Phi_1 = BS\cos\alpha$.
Полное изменение потокосцепления $\Delta\Psi = N'\Phi_1$, и заряд $\Delta Q = \dfrac{N'\Phi_1}{R} = \dfrac{N\,vT\,BS\cos\alpha}{lR}$. Считаем: $N' = \dfrac{1000}{0{,}1}\cdot 0{,}05 = 500$ витков; $\Phi_1 = 2\cdot 10^{-4}\cdot 0{,}5 = 10^{-4}$ Вб; $\Delta Q = \dfrac{500\cdot 10^{-4}}{50} = \dfrac{0{,}05}{50} = 10^{-3}$ Кл.
$\Delta Q = 0{,}001$ Кл $= 1$ мКл