ID: 00019487
Пылинка, имеющая массу $10^{-8}$ г и заряд $-1{,}8\cdot10^{-14}$ Кл, влетает в электрическое поле вертикального плоского конденсатора в точке, находящейся посередине между его пластинами (см. рисунок, вид сверху). Чему должна быть равна минимальная скорость, с которой пылинка влетает в конденсатор, чтобы она смогла пролететь его насквозь? Длина пластин конденсатора 10 см, расстояние между пластинами 1 см, напряжение на пластинах конденсатора 5000 В. Система находится в вакууме.
Источник: ФИПИ
Пылинка летит вдоль конденсатора, а поле сносит её вбок, к одной из пластин. Это в точности задача про «горизонтальный бросок»: вдоль пластин — равномерное движение, поперёк — равноускоренное под действием электрической силы. Конденсатор вертикальный, и смотрим мы сверху, поэтому сила тяжести направлена «в пол» (перпендикулярно рисунку) и к пластинам пылинку не приближает — её можно не учитывать. Чтобы пылинка пролетела насквозь, поперёк она должна сместиться не больше чем на половину зазора.
Поле внутри конденсатора однородно: $E = \dfrac{U}{d}$. На заряд действует сила $F = qE = \dfrac{qU}{d}$, по второму закону Ньютона ускорение поперёк
$a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{qU}{md}$.
Вдоль пластин скорость не меняется, поэтому время пролёта $t = \dfrac{L}{\upsilon}$. За это время пылинка сместится поперёк на
$y = \dfrac{a t^2}{2} = \dfrac{qU}{2md}\cdot\dfrac{L^2}{\upsilon^2}$.
Пылинка влетает посередине, значит до пластины ей $\dfrac{d}{2}$. Минимальной скорости отвечает случай, когда она едва задевает край пластины: $y = \dfrac{d}{2}$.
$\dfrac{d}{2} = \dfrac{qU}{2md}\cdot\dfrac{L^2}{\upsilon^2}\ \Rightarrow\ \upsilon^2 = \dfrac{qU L^2}{m d^2}$.
Переводим в СИ: $m = 10^{-8}$ г $= 10^{-11}$ кг, $q = 1{,}8\cdot10^{-14}$ Кл, $L = 0{,}1$ м, $d = 0{,}01$ м.
$\upsilon = \dfrac{L}{d}\sqrt{\dfrac{qU}{m}} = \dfrac{0{,}1}{0{,}01}\sqrt{\dfrac{1{,}8\cdot10^{-14}\cdot5000}{10^{-11}}} = 10\cdot\sqrt{9} = 30$ м/с.
Подвох — единицы массы (граммы в килограммы) и то, что «вид сверху» убирает силу тяжести из игры.
υmin = 30 м/с