Идея

Резистор греется за счёт энергии, которая «гуляет» по цепи при перезарядке конденсаторов. Считать ток по времени не надо — поможет закон сохранения энергии: работа источника идёт частью на изменение энергии конденсаторов, а остаток выделяется теплом на резисторе. Останется найти конечные заряды, а для этого — закон сохранения заряда на «висящем» узле между конденсаторами и баланс напряжений.

Шаг 1. Что было вначале

Конденсатор C заряжен до U=\varepsilon/2, его заряд q_C^{0}=C\cdot\dfrac{\varepsilon}{2}. Конденсатор 2C пуст: q_{2C}^{0}=0. Узел между ними (нижняя обкладка C и верхняя обкладка 2C) изолирован, его суммарный заряд -C\dfrac{\varepsilon}{2} сохраняется.

Шаг 2. Что стало в конце

Когда перезарядка закончилась, ток равен нулю, значит на резисторе нет падения напряжения, и вся ЭДС распределяется на двух последовательно включённых конденсаторах: \dfrac{q_1}{C}+\dfrac{q_2}{2C}=\varepsilon. Сохранение заряда узла даёт -q_1+q_2=-C\dfrac{\varepsilon}{2}. Решая систему: q_1=\dfrac{5C\varepsilon}{6}, q_2=\dfrac{C\varepsilon}{3} (напряжения \tfrac{5\varepsilon}{6} и \tfrac{\varepsilon}{6}, в сумме \varepsilon — сходится).

Шаг 3. Энергетический баланс

Через источник прошёл заряд \Delta q=q_1-q_C^{0}=\dfrac{5C\varepsilon}{6}-\dfrac{C\varepsilon}{2}=\dfrac{C\varepsilon}{3}, его работа A=\varepsilon\,\Delta q=\dfrac{C\varepsilon^2}{3}. Энергия конденсаторов была W_0=\dfrac{C\varepsilon^2}{8}, стала W=\dfrac{3C\varepsilon^2}{8}, то есть выросла на \Delta W=\dfrac{C\varepsilon^2}{4}.

Тепло: Q=A-\Delta W=\dfrac{C\varepsilon^2}{3}-\dfrac{C\varepsilon^2}{4}=\dfrac{C\varepsilon^2}{12}=\dfrac{6\cdot10^{-6}\cdot(10)^2}{12}=5\cdot10^{-5} Дж.

Ответ: Q=\dfrac{C\varepsilon^2}{12}=50 мкДж.