ID: 00019482
Из двух конденсаторов ёмкостями $C=6$ мкФ и $2C$, резистора, идеального источника с ЭДС $\varepsilon=10$ В и ключа собрали электрическую цепь, схема которой показана на рисунке. Изначально ключ был разомкнут, конденсатор ёмкостью $2C$ не заряжен, а конденсатор ёмкостью $C$ заряжен до напряжения $U=\varepsilon/2$ и подключён к цепи в полярности, показанной на рисунке. Ключ замыкают и дожидаются окончания перераспределения зарядов в цепи. Какое количество теплоты выделится в резисторе после замыкания ключа?
Источник: ФИПИ
Резистор греется за счёт энергии, которая «гуляет» по цепи при перезарядке конденсаторов. Считать ток по времени не надо — поможет закон сохранения энергии: работа источника идёт частью на изменение энергии конденсаторов, а остаток выделяется теплом на резисторе. Останется найти конечные заряды, а для этого — закон сохранения заряда на «висящем» узле между конденсаторами и баланс напряжений.
Конденсатор $C$ заряжен до $U=\varepsilon/2$, его заряд $q_C^{0}=C\cdot\dfrac{\varepsilon}{2}$. Конденсатор $2C$ пуст: $q_{2C}^{0}=0$. Узел между ними (нижняя обкладка $C$ и верхняя обкладка $2C$) изолирован, его суммарный заряд $-C\dfrac{\varepsilon}{2}$ сохраняется.
Когда перезарядка закончилась, ток равен нулю, значит на резисторе нет падения напряжения, и вся ЭДС распределяется на двух последовательно включённых конденсаторах: $\dfrac{q_1}{C}+\dfrac{q_2}{2C}=\varepsilon$. Сохранение заряда узла даёт $-q_1+q_2=-C\dfrac{\varepsilon}{2}$. Решая систему: $q_1=\dfrac{5C\varepsilon}{6}$, $q_2=\dfrac{C\varepsilon}{3}$ (напряжения $\tfrac{5\varepsilon}{6}$ и $\tfrac{\varepsilon}{6}$, в сумме $\varepsilon$ — сходится).
Через источник прошёл заряд $\Delta q=q_1-q_C^{0}=\dfrac{5C\varepsilon}{6}-\dfrac{C\varepsilon}{2}=\dfrac{C\varepsilon}{3}$, его работа $A=\varepsilon\,\Delta q=\dfrac{C\varepsilon^2}{3}$. Энергия конденсаторов была $W_0=\dfrac{C\varepsilon^2}{8}$, стала $W=\dfrac{3C\varepsilon^2}{8}$, то есть выросла на $\Delta W=\dfrac{C\varepsilon^2}{4}$.
Тепло: $Q=A-\Delta W=\dfrac{C\varepsilon^2}{3}-\dfrac{C\varepsilon^2}{4}=\dfrac{C\varepsilon^2}{12}=\dfrac{6\cdot10^{-6}\cdot(10)^2}{12}=5\cdot10^{-5}$ Дж.
$Q=\dfrac{C\varepsilon^2}{12}=50$ мкДж