ID: 00019481
В современных научных и технических устройствах часто используют линейные датчики индукции магнитного поля, работа которых основана на эффекте Холла. Этот эффект состоит в возникновении поперечной разности потенциалов в проводнике или полупроводнике с током, находящемся в магнитном поле, перпендикулярном току. Пусть вдоль однородного длинного образца полупроводника прямоугольной формы с поперечным сечением размерами $b = 0{,}3$ мм и $d = 8$ мм и концентрацией носителей заряда положительного знака («дырок») $n = 5 \cdot 10^{18}$ см$^{-3}$ течёт постоянный ток $I = 200$ мА, а сам образец находится в однородном магнитном поле с индукцией $B = 1{,}5$ Тл, направленной перпендикулярно плоскости образца, вдоль его ребра $b$ (см. рисунок). Чему равна при этом холловская разность потенциалов $U_x$ между гранями образца, параллельными вектору магнитной индукции и току?
Источник: ФИПИ
Ток в образце — это движущиеся «дырки». В магнитном поле на каждую из них действует сила Лоренца и сносит их к одной боковой грани. Заряды копятся на гранях до тех пор, пока возникшее поперечное электрическое поле не уравновесит силу Лоренца. Эта поперечная разность потенциалов и есть холловская.
Свяжем ток со скоростью: $I = q n v (bd)$, где $bd$ — площадь поперечного сечения, $q$ — элементарный заряд, $v$ — скорость дрейфа. Отсюда $v = \dfrac{I}{q n b d}$.
В установившемся режиме сила Лоренца $qvB$ уравновешена силой со стороны поперечного поля $qE_{\perp}$, поэтому $E_{\perp} = vB$. Холловское напряжение снимается поперёк размера $d$: $U_x = E_{\perp} d = vBd$.
Подставляя $v$, получаем $U_x = \dfrac{I}{q n b d} \cdot Bd = \dfrac{IB}{q n b}$ — длина $d$ сократилась. Переведём $n = 5 \cdot 10^{18}$ см$^{-3} = 5 \cdot 10^{24}$ м$^{-3}$ и $b = 3 \cdot 10^{-4}$ м: $U_x = \dfrac{0{,}2 \cdot 1{,}5}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 5 \cdot 10^{24} \cdot 3 \cdot 10^{-4}} = \dfrac{0{,}3}{240} = 1{,}25 \cdot 10^{-3}$ В $= 1{,}25$ мВ.
$U_x = 1{,}25$ мВ