ID: 00019478
На шероховатой плоскости, наклонённой под углом $\alpha=30^\circ$ к горизонту, находится однородный цилиндрический проводник массой $m=100$ г и длиной $l=57{,}7$ см (см. рисунок). По проводнику пропускают ток в направлении «от нас», за плоскость рисунка, и вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией $B=1$ Тл, направленной вертикально вниз. При какой силе тока $I$ цилиндр будет оставаться на месте, не скатываясь с плоскости и не накатываясь на неё?
Источник: ФИПИ
Цилиндр лежит на наклонной плоскости, и по нему течёт ток. В вертикальном магнитном поле на этот ток действует сила Ампера. Подберём ток так, чтобы цилиндр не съезжал и не закатывался вверх. Тонкость в том, что цилиндр может не только скользить, но и катиться.
На цилиндр действуют тяжесть $mg$, нормальная реакция, трение и сила Ампера $F=BIl$. Ток идёт вдоль оси цилиндра, поле направлено вертикально вниз, поэтому сила Ампера горизонтальна и «прижимает» цилиндр к склону.
Запишем моменты сил относительно оси цилиндра. Тяжесть и сила Ампера проходят через ось — момента не дают. Нормальная реакция направлена по радиусу — тоже. Остаётся только трение; чтобы цилиндр не раскручивался, его момент должен быть равен нулю, то есть сила трения должна обращаться в ноль.
Без трения вдоль наклонной плоскости горизонтальная сила Ампера своей проекцией $F\cos\alpha$ удерживает цилиндр против скатывания $mg\sin\alpha$: $BIl\cos\alpha=mg\sin\alpha$. Отсюда $I=\frac{mg\tan\alpha}{Bl}=\frac{0{,}1\cdot10\cdot\tan30^\circ}{1\cdot0{,}577}\approx1$ А.
$I\approx1$ А