ID: 00019476
На двух вертикальных лёгких проводах длиной $l$ каждый подвешен в горизонтальном положении массивный проводящий стержень длиной $L$. Верхние концы проводов присоединены к обкладкам конденсатора ёмкостью $C$. Система находится в вертикальном однородном магнитном поле с индукцией $B$ (см. рисунок). Стержень отклоняют от положения равновесия параллельно самому себе на небольшое расстояние $x_0$ и отпускают с нулевой начальной скоростью. Найдите зависимость от времени $t$ заряда $q$ конденсатора, считая, что в начальный момент, при $t = 0$, конденсатор был не заряжен. Трением, сопротивлением всех проводников и контактов между ними, а также силами взаимодействия токов в проводниках с магнитным полем пренебречь.
Источник: ФИПИ
Стержень на двух нитях — это маятник: он качается с малой амплитудой, оставаясь горизонтальным. Двигаясь поперёк вертикального поля, он работает как «движущийся проводник» — на нём наводится ЭДС. Сопротивления в цепи нет, поэтому напряжение на конденсаторе в каждый момент равно этой ЭДС, а заряд $q = CU$.
Малые колебания подвеса длиной $l$ — гармонические с циклической частотой $\omega_0 = \sqrt{g/l}$. Отпустили из $x_0$ без начальной скорости, поэтому $x(t) = x_0\cos(\omega_0 t)$, а скорость $v(t) = \dot{x} = -x_0\omega_0\sin(\omega_0 t)$.
Стержень длиной $L$ движется со скоростью $v$ поперёк вертикального поля $B$, поэтому ЭДС $\varepsilon = BLv = -BLx_0\omega_0\sin(\omega_0 t)$.
Раз сопротивления нет, напряжение на конденсаторе равно ЭДС: $U_C = \varepsilon$, а заряд $q = CU_C = CBLv$. Подставляя $\omega_0 = \sqrt{g/l}$, получаем $q(t) = CBLx_0\sqrt{g/l}\,\sin\!\left(\sqrt{g/l}\,t\right)$. При $t = 0$ заряд $q = 0$ — условие выполнено.
Ответ: $q(t) = CBLx_0\sqrt{\dfrac{g}{l}}\,\sin\!\left(\sqrt{\dfrac{g}{l}}\,t\right)$; амплитуда заряда $q_{\max} = CBLx_0\sqrt{g/l}$ (знак зависит от выбранного направления отсчёта).
$q(t) = CBLx_0\sqrt{\dfrac{g}{l}}\,\sin\!\left(\sqrt{\dfrac{g}{l}}\,t\right)$