ID: 00019476
На двух вертикальных лёгких проводах длиной l каждый подвешен в горизонтальном положении массивный проводящий стержень длиной L. Верхние концы проводов присоединены к обкладкам конденсатора ёмкостью C. Система находится в вертикальном однородном магнитном поле с индукцией B (см. рисунок). Стержень отклоняют от положения равновесия параллельно самому себе на небольшое расстояние x_0 и отпускают с нулевой начальной скоростью. Найдите зависимость от времени t заряда q конденсатора, считая, что в начальный момент, при t = 0, конденсатор был не заряжен. Трением, сопротивлением всех проводников и контактов между ними, а также силами взаимодействия токов в проводниках с магнитным полем пренебречь.
Источник: ФИПИ
Стержень на двух нитях — это маятник: он качается с малой амплитудой, оставаясь горизонтальным. Двигаясь поперёк вертикального поля, он работает как «движущийся проводник» — на нём наводится ЭДС. Сопротивления в цепи нет, поэтому напряжение на конденсаторе в каждый момент равно этой ЭДС, а заряд q = CU.
Малые колебания подвеса длиной l — гармонические с циклической частотой \omega_0 = \sqrt{g/l}. Отпустили из x_0 без начальной скорости, поэтому x(t) = x_0\cos(\omega_0 t), а скорость v(t) = \dot{x} = -x_0\omega_0\sin(\omega_0 t).
Стержень длиной L движется со скоростью v поперёк вертикального поля B, поэтому ЭДС \varepsilon = BLv = -BLx_0\omega_0\sin(\omega_0 t).
Раз сопротивления нет, напряжение на конденсаторе равно ЭДС: U_C = \varepsilon, а заряд q = CU_C = CBLv. Подставляя \omega_0 = \sqrt{g/l}, получаем q(t) = CBLx_0\sqrt{g/l}\,\sin\!\left(\sqrt{g/l}\,t\right). При t = 0 заряд q = 0 — условие выполнено.
Ответ: q(t) = CBLx_0\sqrt{\dfrac{g}{l}}\,\sin\!\left(\sqrt{\dfrac{g}{l}}\,t\right); амплитуда заряда q_{\max} = CBLx_0\sqrt{g/l} (знак зависит от выбранного направления отсчёта).
q(t) = CBLx_0\sqrt{\dfrac{g}{l}}\,\sin\!\left(\sqrt{\dfrac{g}{l}}\,t\right)