ID: 00019464
Квадратная проводящая рамка с длиной стороны 2a = 20 см закреплена на горизонтальной оси O, установленной в неподвижных подшипниках и проходящей через середины двух противоположных сторон рамки. К центру этой оси жёстко приделана лёгкая штанга длиной l = 10 см с маленьким грузиком массой m = 100 г на конце, перпендикулярная плоскости рамки. Вся эта конструкция может свободно вращаться на оси и находится в однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией B = 1 Тл, направленной перпендикулярно оси рамки (см. рисунок, вид сбоку вдоль оси). По рамке с помощью гибких проводов начали пропускать постоянный ток, в результате чего в новом положении равновесия рамка со штангой повернулась вокруг оси на угол \alpha = 45^\circ. Чему равна сила тока I в рамке?
Источник: ФИПИ
Рамка с током ведёт себя как магнитная стрелка: поле стремится её развернуть. Мешает этому грузик — сила тяжести тянет его вниз и возвращает штангу к вертикали. В новом положении равновесия два вращающих момента, магнитный и от тяжести, уравновешены. Приравняем их и выразим ток.
Без тока штанга висит вертикально вниз. После поворота на угол \alpha плечо силы тяжести равно l\sin\alpha, поэтому её момент относительно оси M_{\text{тяж}} = mgl\sin\alpha.
Момент сил, действующих на рамку с током в поле, равен M_{\text{маг}} = ISB\sin\varphi, где S = (2a)^2 — площадь рамки, а \varphi — угол между нормалью к рамке и \vec B. Нормаль направлена вдоль штанги. Сначала штанга вертикальна, поле горизонтально, угол между ними 90^\circ. После поворота на \alpha этот угол стал 90^\circ - \alpha, поэтому M_{\text{маг}} = ISB\cos\alpha.
Приравниваем моменты: ISB\cos\alpha = mgl\sin\alpha, откуда I = \dfrac{mgl\tan\alpha}{SB}. Подставим S = (0{,}2)^2 = 0{,}04 м^2, \tan 45^\circ = 1, g = 10 м/с^2: I = \dfrac{0{,}1 \cdot 10 \cdot 0{,}1 \cdot 1}{0{,}04 \cdot 1} = 2{,}5 А.
Ответ: I = 2{,}5 А.
I = 2{,}5 А