ID: 00019464
Квадратная проводящая рамка с длиной стороны $2a = 20$ см закреплена на горизонтальной оси $O$, установленной в неподвижных подшипниках и проходящей через середины двух противоположных сторон рамки. К центру этой оси жёстко приделана лёгкая штанга длиной $l = 10$ см с маленьким грузиком массой $m = 100$ г на конце, перпендикулярная плоскости рамки. Вся эта конструкция может свободно вращаться на оси и находится в однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией $B = 1$ Тл, направленной перпендикулярно оси рамки (см. рисунок, вид сбоку вдоль оси). По рамке с помощью гибких проводов начали пропускать постоянный ток, в результате чего в новом положении равновесия рамка со штангой повернулась вокруг оси на угол $\alpha = 45^\circ$. Чему равна сила тока $I$ в рамке?
Источник: ФИПИ
Рамка с током ведёт себя как магнитная стрелка: поле стремится её развернуть. Мешает этому грузик — сила тяжести тянет его вниз и возвращает штангу к вертикали. В новом положении равновесия два вращающих момента, магнитный и от тяжести, уравновешены. Приравняем их и выразим ток.
Без тока штанга висит вертикально вниз. После поворота на угол $\alpha$ плечо силы тяжести равно $l\sin\alpha$, поэтому её момент относительно оси $M_{\text{тяж}} = mgl\sin\alpha$.
Момент сил, действующих на рамку с током в поле, равен $M_{\text{маг}} = ISB\sin\varphi$, где $S = (2a)^2$ — площадь рамки, а $\varphi$ — угол между нормалью к рамке и $\vec B$. Нормаль направлена вдоль штанги. Сначала штанга вертикальна, поле горизонтально, угол между ними $90^\circ$. После поворота на $\alpha$ этот угол стал $90^\circ - \alpha$, поэтому $M_{\text{маг}} = ISB\cos\alpha$.
Приравниваем моменты: $ISB\cos\alpha = mgl\sin\alpha$, откуда $I = \dfrac{mgl\tan\alpha}{SB}$. Подставим $S = (0{,}2)^2 = 0{,}04$ м$^2$, $\tan 45^\circ = 1$, $g = 10$ м/с$^2$: $I = \dfrac{0{,}1 \cdot 10 \cdot 0{,}1 \cdot 1}{0{,}04 \cdot 1} = 2{,}5$ А.
$I = 2{,}5$ А