ID: 00019463
Частица массой $m = 8 \cdot 10^{-10}$ кг с отрицательным зарядом $|q| = 2 \cdot 10^{-8}$ Кл влетает с начальной скоростью $V = 20$ м/с в область пространства 1 шириной $d = 20$ см, в которой создано однородное магнитное поле с индукцией $B = 2$ Тл. Начальная скорость частицы направлена перпендикулярно границе области 1. После вылета из области 1 частица попадает в непосредственно граничащую с ней протяжённую область 2, в которой создано однородное электростатическое поле напряжённостью $E = 20$ В/м. Направления линий магнитного и электрического полей в областях 1 и 2 показаны на рисунке. На каком расстоянии от точки $M$ попадания в область 1 частица вылетит из неё, двигаясь в противоположном направлении, пройдя области обоих полей?
Ответ выразите в метрах.
Источник: ФИПИ
Разобьём путь на три куска. В области 1 работает только магнитное поле — оно закручивает частицу в дугу окружности, не меняя модуль скорости. В области 2 — электрическое поле: для отрицательного заряда сила направлена против $\vec E$, поэтому частица тормозится по вертикали и возвращается, словно мячик, подброшенный вверх. Сложив горизонтальные смещения на всех трёх кусках, найдём расстояние до точки выхода.
Магнитная сила играет роль центростремительной: $|q|VB = \dfrac{mV^2}{r}$, откуда радиус $r = \dfrac{mV}{|q|B} = \dfrac{8 \cdot 10^{-10} \cdot 20}{2 \cdot 10^{-8} \cdot 2} = 0{,}4$ м.
Войдя снизу вертикально, частица поворачивает и достигает верхней границы, пройдя по вертикали $d$. Из геометрии дуги $\sin\alpha = \dfrac{d}{r} = \dfrac{0{,}2}{0{,}4} = 0{,}5$, то есть $\alpha = 30^\circ$. С тем же модулем скорости $V$ и под углом $30^\circ$ к вертикали частица влетает в область 2. Горизонтальное смещение на этой дуге равно $r(1-\cos\alpha)$.
В области 2 горизонтальная скорость $V\sin\alpha$ постоянна, а вертикальная гасится полем с ускорением $a = \dfrac{|q|E}{m} = \dfrac{2 \cdot 10^{-8} \cdot 20}{8 \cdot 10^{-10}} = 500$ м/с$^2$. Частица возвращается на границу с теми же модулем скорости и углом. Время полёта $t = \dfrac{2V\cos\alpha}{a}$, а горизонтальное смещение $\Delta x = V\sin\alpha \cdot t = \dfrac{V^2\sin 2\alpha}{a} = \dfrac{400 \cdot \sin 60^\circ}{500} \approx 0{,}69$ м.
Вернувшись в область 1, частица проходит симметричную дугу и выходит вниз — в противоположную сторону. Полное расстояние от $M$: $s = 2r(1-\cos\alpha) + \dfrac{V^2\sin 2\alpha}{a} = 2 \cdot 0{,}4 \cdot (1 - 0{,}866) + 0{,}69 \approx 0{,}11 + 0{,}69 = 0{,}8$ м.
$s = 0{,}8$ м