Идея

Разобьём путь на три куска. В области 1 работает только магнитное поле — оно закручивает частицу в дугу окружности, не меняя модуль скорости. В области 2 — электрическое поле: для отрицательного заряда сила направлена против \vec E, поэтому частица тормозится по вертикали и возвращается, словно мячик, подброшенный вверх. Сложив горизонтальные смещения на всех трёх кусках, найдём расстояние до точки выхода.

Шаг 1. Радиус дуги в магнитном поле

Магнитная сила играет роль центростремительной: |q|VB = \dfrac{mV^2}{r}, откуда радиус r = \dfrac{mV}{|q|B} = \dfrac{8 \cdot 10^{-10} \cdot 20}{2 \cdot 10^{-8} \cdot 2} = 0{,}4 м.

Шаг 2. Под каким углом частица выходит в область 2

Войдя снизу вертикально, частица поворачивает и достигает верхней границы, пройдя по вертикали d. Из геометрии дуги \sin\alpha = \dfrac{d}{r} = \dfrac{0{,}2}{0{,}4} = 0{,}5, то есть \alpha = 30^\circ. С тем же модулем скорости V и под углом 30^\circ к вертикали частица влетает в область 2. Горизонтальное смещение на этой дуге равно r(1-\cos\alpha).

Шаг 3. Перелёт в электрическом поле

В области 2 горизонтальная скорость V\sin\alpha постоянна, а вертикальная гасится полем с ускорением a = \dfrac{|q|E}{m} = \dfrac{2 \cdot 10^{-8} \cdot 20}{8 \cdot 10^{-10}} = 500 м/с^2. Частица возвращается на границу с теми же модулем скорости и углом. Время полёта t = \dfrac{2V\cos\alpha}{a}, а горизонтальное смещение \Delta x = V\sin\alpha \cdot t = \dfrac{V^2\sin 2\alpha}{a} = \dfrac{400 \cdot \sin 60^\circ}{500} \approx 0{,}69 м.

Шаг 4. Складываем смещения

Вернувшись в область 1, частица проходит симметричную дугу и выходит вниз — в противоположную сторону. Полное расстояние от M: s = 2r(1-\cos\alpha) + \dfrac{V^2\sin 2\alpha}{a} = 2 \cdot 0{,}4 \cdot (1 - 0{,}866) + 0{,}69 \approx 0{,}11 + 0{,}69 = 0{,}8 м.

Ответ: s = 0{,}8 м.