Электростатика — Задание 25 ЕГЭ по физике №00018653

Дано:

$\alpha=30^\circ$ — угол наклона стержня к горизонту; $\;q$ — заряд каждой бусины (одинаковые по величине, одного знака); $\;m$ — масса верхней (подвижной) бусины; нижняя бусина закреплена, её масса равна нулю; $\;l$ — расстояние между бусинами в равновесии; трения нет. $\;k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$.

Найти:

$q$ — заряд бусины (в общем виде).

Решение:

Представь бусину как колечко на спице (стержне): вдоль спицы она скользит свободно, а вот поперёк спица её держит — упирается. Значит, спица может только толкать бусину перпендикулярно себе (это сила реакции $\vec N$), а вдоль неё не помогает никак. Раз трения нет, то «вдоль спицы» бусину удерживают всего две вещи: скатывающая часть тяжести и кулоновское отталкивание от нижнего заряда.

На верхнюю бусину действуют три силы (их и рисуем): сила тяжести $m\vec g$ — вертикально вниз; сила реакции стержня $\vec N$ — перпендикулярно стержню; сила Кулона $\vec F$ — вдоль стержня, направленная вверх по стержню (заряды одного знака отталкиваются, нижний толкает верхнюю бусину прочь от себя — вверх по наклону).

Модуль кулоновской силы по закону Кулона:

$$F=\frac{k\,q\cdot q}{l^2}=\frac{k\,q^2}{l^2}.$$

Спроецируем второй закон Ньютона (в равновесии сумма сил равна нулю) на ось вдоль стержня. Сила реакции $\vec N$ перпендикулярна оси и в проекцию не входит. Тяжесть даёт скатывающую составляющую $mg\sin\alpha$ (вниз по стержню), а сила Кулона направлена вверх по стержню:

$$F=mg\sin\alpha\;\Rightarrow\;\frac{k\,q^2}{l^2}=mg\sin\alpha.$$

Выражаем заряд:

$$q^2=\frac{m g\,l^2\sin\alpha}{k}\;\Rightarrow\;q=l\sqrt{\frac{m g\sin\alpha}{k}}.$$

Это и есть ответ «в общем виде». Подставив $\alpha=30^\circ$ ($\sin\alpha=\tfrac12$), получаем компактный вид $q=l\sqrt{\dfrac{mg}{2k}}=l\sqrt{2\pi\varepsilon_0 m g}$. Логично: чем круче стержень или тяжелее бусина, тем больший заряд нужен, чтобы отталкивание удержало её от скатывания.