ID: 00018639
На гладком горизонтальном столе покоится брусок с прикреплённой к нему гладкой изогнутой в вертикальной плоскости тонкой жёсткой трубкой (см. рисунок). Общая масса бруска с трубкой равна M = 0{,}8 кг. В верхний конец вертикальной части трубки, находящийся на высоте H = 70 см над бруском, опускают без начальной скорости маленький шарик массой m = 50 г. Другой конец трубки наклонён к горизонту под углом \alpha = 30^\circ и находится на высоте h = 20 см над бруском. Найдите модуль скорости, с которой будет двигаться брусок после того, как шарик вылетит из трубки.
Какие законы Вы используете для описания движения и взаимодействия трубки и шарика? Обоснуйте их применение к данному случаю.
Источник: ФИПИ
Шарик катится внутри трубки, а трубка вместе с бруском свободно стоит на гладком столе. Стол гладкий → толкать систему по горизонтали некому, поэтому общий горизонтальный импульс всё время равен нулю. Трения нет → механическая энергия сохраняется. Главная тонкость: на вылете шарик движется не «как захочет», а вдоль трубки — то есть относительно бруска его скорость направлена под углом \alpha. Это и связывает всё воедино.
Поверхность стола гладкая и трубка гладкая → на систему «брусок с трубкой + шарик» нет горизонтальных внешних сил (тяжесть и реакция стола вертикальны). Поэтому проекция импульса на горизонталь сохраняется и равна нулю (старт из покоя). Трения нет → силы реакции работы не совершают, полная механическая энергия сохраняется. Тела — материальные точки; шарик в момент вылета движется вдоль оси трубки, значит его скорость относительно бруска составляет угол \alpha с горизонтом.
Пусть брусок после вылета едет влево со скоростью V, а скорость шарика относительно бруска вдоль трубки равна w (вправо-вверх под углом \alpha). Тогда горизонтальная скорость шарика в лаборатории V_x = -V + w\cos\alpha. Нулевой импульс: 0 = -M V + m(-V + w\cos\alpha)\;\Rightarrow\;(M+m)V = m\,w\cos\alpha.
Шарик опустился с H до h. Распишем кинетику, учитывая обе компоненты скорости шарика (-V+w\cos\alpha,\; w\sin\alpha): m g (H-h) = \frac{M V^2}{2} + \frac{m}{2}\big[(-V+w\cos\alpha)^2 + (w\sin\alpha)^2\big]. Раскрыв скобки и подставив m\,w\cos\alpha = (M+m)V, перекрёстное слагаемое сворачивается, и остаётся компактно: m g(H-h) = \frac{1}{2} m w^2 - \frac{1}{2}(M+m)V^2.
Из импульса w = \dfrac{(M+m)V}{m\cos\alpha}. Подставляем и выражаем V: m g(H-h) = \frac{1}{2}(M+m)V^2\left[\frac{M+m}{m\cos^2\alpha} - 1\right]. Числа: M+m = 0{,}85 кг, m = 0{,}05 кг, \cos^2 30^\circ = 0{,}75, H-h = 0{,}5 м, g = 10 м/с². Скобка: \dfrac{0{,}85}{0{,}05\cdot 0{,}75} - 1 = 22{,}67 - 1 = 21{,}67. Тогда 0{,}05\cdot 10\cdot 0{,}5 = 0{,}425\cdot V^2 \cdot 21{,}67, то есть 0{,}25 = 9{,}21\,V^2, откуда V^2 = 0{,}0271 и V \approx 0{,}16 м/с.
Ответ: ≈ 0,16 м/с.
0,16