ID: 00018639
На гладком горизонтальном столе покоится брусок с прикреплённой к нему гладкой изогнутой в вертикальной плоскости тонкой жёсткой трубкой (см. рисунок). Общая масса бруска с трубкой равна $M = 0{,}8$ кг. В верхний конец вертикальной части трубки, находящийся на высоте $H = 70$ см над бруском, опускают без начальной скорости маленький шарик массой $m = 50$ г. Другой конец трубки наклонён к горизонту под углом $\alpha = 30^\circ$ и находится на высоте $h = 20$ см над бруском. Найдите модуль скорости, с которой будет двигаться брусок после того, как шарик вылетит из трубки.
Какие законы Вы используете для описания движения и взаимодействия трубки и шарика? Обоснуйте их применение к данному случаю.
Источник: ФИПИ
Шарик катится внутри трубки, а трубка вместе с бруском свободно стоит на гладком столе. Стол гладкий → толкать систему по горизонтали некому, поэтому общий горизонтальный импульс всё время равен нулю. Трения нет → механическая энергия сохраняется. Главная тонкость: на вылете шарик движется не «как захочет», а вдоль трубки — то есть относительно бруска его скорость направлена под углом $\alpha$. Это и связывает всё воедино.
Поверхность стола гладкая и трубка гладкая → на систему «брусок с трубкой + шарик» нет горизонтальных внешних сил (тяжесть и реакция стола вертикальны). Поэтому проекция импульса на горизонталь сохраняется и равна нулю (старт из покоя). Трения нет → силы реакции работы не совершают, полная механическая энергия сохраняется. Тела — материальные точки; шарик в момент вылета движется вдоль оси трубки, значит его скорость относительно бруска составляет угол $\alpha$ с горизонтом.
Пусть брусок после вылета едет влево со скоростью $V$, а скорость шарика относительно бруска вдоль трубки равна $w$ (вправо-вверх под углом $\alpha$). Тогда горизонтальная скорость шарика в лаборатории $V_x = -V + w\cos\alpha$. Нулевой импульс: $$0 = -M V + m(-V + w\cos\alpha)\;\Rightarrow\;(M+m)V = m\,w\cos\alpha.$$
Шарик опустился с $H$ до $h$. Распишем кинетику, учитывая обе компоненты скорости шарика $(-V+w\cos\alpha,\; w\sin\alpha)$: $$m g (H-h) = \frac{M V^2}{2} + \frac{m}{2}\big[(-V+w\cos\alpha)^2 + (w\sin\alpha)^2\big].$$ Раскрыв скобки и подставив $m\,w\cos\alpha = (M+m)V$, перекрёстное слагаемое сворачивается, и остаётся компактно: $$m g(H-h) = \frac{1}{2} m w^2 - \frac{1}{2}(M+m)V^2.$$
Из импульса $w = \dfrac{(M+m)V}{m\cos\alpha}$. Подставляем и выражаем $V$: $$m g(H-h) = \frac{1}{2}(M+m)V^2\left[\frac{M+m}{m\cos^2\alpha} - 1\right].$$ Числа: $M+m = 0{,}85$ кг, $m = 0{,}05$ кг, $\cos^2 30^\circ = 0{,}75$, $H-h = 0{,}5$ м, $g = 10$ м/с². Скобка: $\dfrac{0{,}85}{0{,}05\cdot 0{,}75} - 1 = 22{,}67 - 1 = 21{,}67$. Тогда $0{,}05\cdot 10\cdot 0{,}5 = 0{,}425\cdot V^2 \cdot 21{,}67$, то есть $0{,}25 = 9{,}21\,V^2$, откуда $V^2 = 0{,}0271$ и $V \approx 0{,}16$ м/с.
0,16