ID: 00018638
На гладкой горизонтальной поверхности стола покоится горка с двумя вершинами, высоты которых h и \dfrac52 h (см. рисунок). На правой вершине горки находится шайба. От незначительного толчка шайба и горка приходят в движение, причём шайба движется влево, не отрываясь от гладкой поверхности горки, а поступательно движущаяся горка не отрывается от стола. Скорость шайбы на левой вершине горки оказалась равной v. Найдите отношение масс шайбы и горки.
Какие законы Вы используете для описания взаимодействия горки и тела? Обоснуйте их применение к данному случаю.
Источник: ФИПИ
Горка на гладком столе свободно едет. Шайба скатывается с правой (высокой) вершины \tfrac52 h на левую вершину h, горка отъезжает в обратную сторону. Горизонтальных внешних сил нет \Rightarrow сохраняется горизонтальный импульс; трения нет \Rightarrow сохраняется механическая энергия. Из этих двух законов выражаем отношение масс через известную скорость шайбы v на левой вершине.
Система «шайба + горка». Внешние силы (тяжесть, реакция стола) вертикальны, стол гладкий \Rightarrow сохранение импульса по горизонтали. Нет трения, нормальные силы работы над системой не совершают \Rightarrow сохранение механической энергии. На вершине скорость шайбы горизонтальна (касательная к вершине горизонтальна), поэтому она целиком входит в горизонтальный импульс. Тела — материальные точки, горка движется поступательно.
Масса шайбы m, горки M. До толчка покой: 0=mv-MV\Rightarrow V=\dfrac{m}{M}v.
Шайба опустилась с \tfrac52 h до h, то есть на \tfrac32 h: mg\cdot\dfrac{3h}{2}=\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{MV^2}{2}. Подставим V=\dfrac{m}{M}v и обозначим k=\dfrac{m}{M}: делим на \tfrac{m}{2} \Rightarrow 3gh=v^2+\dfrac{M}{m}\left(\dfrac{m}{M}\right)^2 v^2=v^2(1+k).
1+k=\dfrac{3gh}{v^2}\Rightarrow k=\dfrac{m}{M}=\dfrac{3gh-v^2}{v^2}.
Например, при каноническом v=\sqrt{2gh} получилось бы \dfrac{m}{M}=\dfrac{3gh-2gh}{2gh}=\dfrac12.
Ответ: \dfrac{m}{M}=\dfrac{3gh-v^2}{v^2}.
\dfrac{m}{M}=\dfrac{3gh-v^2}{v^2}