Задание 26 ЕГЭ по физике №00018638

Идея

Горка на гладком столе свободно едет. Шайба скатывается с правой (высокой) вершины $\tfrac52 h$ на левую вершину $h$, горка отъезжает в обратную сторону. Горизонтальных внешних сил нет $\Rightarrow$ сохраняется горизонтальный импульс; трения нет $\Rightarrow$ сохраняется механическая энергия. Из этих двух законов выражаем отношение масс через известную скорость шайбы $v$ на левой вершине.

Обоснование

Система «шайба + горка». Внешние силы (тяжесть, реакция стола) вертикальны, стол гладкий $\Rightarrow$ сохранение импульса по горизонтали. Нет трения, нормальные силы работы над системой не совершают $\Rightarrow$ сохранение механической энергии. На вершине скорость шайбы горизонтальна (касательная к вершине горизонтальна), поэтому она целиком входит в горизонтальный импульс. Тела — материальные точки, горка движется поступательно.

Импульс по горизонтали

Масса шайбы $m$, горки $M$. До толчка покой: $0=mv-MV\Rightarrow V=\dfrac{m}{M}v$.

Энергия

Шайба опустилась с $\tfrac52 h$ до $h$, то есть на $\tfrac32 h$: $mg\cdot\dfrac{3h}{2}=\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{MV^2}{2}$. Подставим $V=\dfrac{m}{M}v$ и обозначим $k=\dfrac{m}{M}$: делим на $\tfrac{m}{2}$ $\Rightarrow 3gh=v^2+\dfrac{M}{m}\left(\dfrac{m}{M}\right)^2 v^2=v^2(1+k)$.

Отношение масс

$1+k=\dfrac{3gh}{v^2}\Rightarrow k=\dfrac{m}{M}=\dfrac{3gh-v^2}{v^2}$.

Например, при каноническом $v=\sqrt{2gh}$ получилось бы $\dfrac{m}{M}=\dfrac{3gh-2gh}{2gh}=\dfrac12$.