ID: 00018637
На гладкой горизонтальной поверхности стола покоится горка с двумя вершинами, высоты которых h и 4h (см. рисунок). На правой вершине горки находится шайба. Масса горки в 8 раз больше массы шайбы. От незначительного толчка шайба и горка приходят в движение, причём шайба движется влево, не отрываясь от гладкой поверхности горки, а поступательно движущаяся горка не отрывается от стола. Найдите скорость шайбы на левой вершине горки.
Какие законы Вы используете для описания взаимодействия горки и тела? Обоснуйте их применение к данному случаю.
Источник: ФИПИ
Горка стоит на гладком столе, поэтому может ехать сама. Шайба скатывается с правой (высокой) вершины 4h на левую вершину h, а горка при этом отъезжает в другую сторону. Внешние силы (тяжесть и реакция стола) — вертикальные, значит по горизонтали ничто систему не толкает: сохраняется горизонтальный импульс. Поверхности гладкие — сохраняется и механическая энергия. Двух этих законов хватает.
Система «шайба + горка». Внешние горизонтальные силы отсутствуют (стол гладкий, тяжесть и реакции вертикальны) \Rightarrow закон сохранения импульса в проекции на горизонталь. Силы тяжести консервативны, трения нет, нормальные силы между шайбой и горкой работы над системой не совершают \Rightarrow закон сохранения механической энергии. На вершине горки скорость шайбы горизонтальна (вершина — точка, где касательная горизонтальна), поэтому в импульс по горизонтали входит полная скорость шайбы. Тела — материальные точки; горка движется поступательно.
Пусть масса шайбы m, горки M=8m. До толчка покой. На левой вершине шайба идёт влево со скоростью v, горка — вправо со скоростью V: 0=mv-MV\Rightarrow V=\dfrac{m}{M}v=\dfrac{v}{8}.
Шайба опустилась с 4h до h, то есть на 3h: mg\cdot3h=\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{MV^2}{2}. Подставляем M=8m, V=v/8: 3mgh=\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{8m}{2}\cdot\dfrac{v^2}{64}=\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{mv^2}{16}=\dfrac{9mv^2}{16}.
3gh=\dfrac{9v^2}{16}\Rightarrow v^2=\dfrac{16gh}{3}\Rightarrow v=4\sqrt{\dfrac{gh}{3}}\approx2{,}31\sqrt{gh}.
Ответ: v=4\sqrt{\dfrac{gh}{3}}\approx2{,}31\sqrt{gh}.
v=4\sqrt{\dfrac{gh}{3}}\approx2{,}31\sqrt{gh}