Задание 26 ЕГЭ по физике №00018637

Идея

Горка стоит на гладком столе, поэтому может ехать сама. Шайба скатывается с правой (высокой) вершины $4h$ на левую вершину $h$, а горка при этом отъезжает в другую сторону. Внешние силы (тяжесть и реакция стола) — вертикальные, значит по горизонтали ничто систему не толкает: сохраняется горизонтальный импульс. Поверхности гладкие — сохраняется и механическая энергия. Двух этих законов хватает.

Обоснование

Система «шайба + горка». Внешние горизонтальные силы отсутствуют (стол гладкий, тяжесть и реакции вертикальны) $\Rightarrow$ закон сохранения импульса в проекции на горизонталь. Силы тяжести консервативны, трения нет, нормальные силы между шайбой и горкой работы над системой не совершают $\Rightarrow$ закон сохранения механической энергии. На вершине горки скорость шайбы горизонтальна (вершина — точка, где касательная горизонтальна), поэтому в импульс по горизонтали входит полная скорость шайбы. Тела — материальные точки; горка движется поступательно.

Импульс по горизонтали

Пусть масса шайбы $m$, горки $M=8m$. До толчка покой. На левой вершине шайба идёт влево со скоростью $v$, горка — вправо со скоростью $V$: $0=mv-MV\Rightarrow V=\dfrac{m}{M}v=\dfrac{v}{8}$.

Энергия

Шайба опустилась с $4h$ до $h$, то есть на $3h$: $mg\cdot3h=\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{MV^2}{2}$. Подставляем $M=8m$, $V=v/8$: $3mgh=\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{8m}{2}\cdot\dfrac{v^2}{64}=\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{mv^2}{16}=\dfrac{9mv^2}{16}$.

Считаем

$3gh=\dfrac{9v^2}{16}\Rightarrow v^2=\dfrac{16gh}{3}\Rightarrow v=4\sqrt{\dfrac{gh}{3}}\approx2{,}31\sqrt{gh}$.