ID: 00018636
На горизонтальной плоскости стоит клин массой $M$ с углом при основании $\alpha=30^\circ$. Вдоль наклонной плоскости клина расположена лёгкая штанга, нижний конец которой укреплён в шарнире, находящемся на горизонтальной плоскости, а к верхнему концу прикреплён маленький шарик массой $m$, касающийся клина (см. рисунок). Систему освобождают, и она начинает движение, во время которого шарик сохраняет контакт с клином. На какой максимальный угол $\beta$ штанга отклонится от горизонтали после того, как клин отъедет от неё? Трением пренебречь, удар шарика о горизонтальную плоскость считать абсолютно упругим. В ответе укажите синус искомого угла.
Какие законы Вы используете для описания движения шарика и клина? Обоснуйте их применение к данному случаю.
Источник: ФИПИ
Лёгкая штанга закреплена шарниром на полу и лежит вдоль наклонной грани клина ($\alpha=30^\circ$); на её верхнем конце шарик касается клина. Когда систему отпускают, шарик опускается по дуге (радиус — длина штанги), толкая клин вправо. Штанга станет горизонтальной как раз у пола: тут клин уже уехал, а шарик летит вертикально вниз и упруго отскакивает, после чего по дуге взлетает вверх. Связка идей: сохранение энергии на спуске + геометрическая (кинематическая) связь скоростей шарика и клина + упругий удар сохраняет скорость по модулю.
Шарик закреплён на конце штанги, второй конец которой — шарнир на полу, поэтому шарик всегда на окружности; в нижней (горизонтальной) точке его скорость направлена вертикально (по касательной). Трения нет $\Rightarrow$ применим закон сохранения механической энергии для системы «шарик + клин» (силы реакции и нормального контакта работы не совершают, шарнир неподвижен — его реакция работы не делает). Контакт шарика с гранью даёт связь скоростей: относительная скорость шарика и клина направлена вдоль грани. Удар о пол абсолютно упругий $\Rightarrow$ модуль скорости шарика сохраняется, меняется лишь направление (вниз$\to$вверх). Тела — материальные точки, штанга невесома.
В момент, когда штанга горизонтальна, скорость шарика $v$ — вертикальна (вниз), скорость клина $V$ — горизонтальна. Контакт по грани с углом $\alpha$ требует, чтобы относительная скорость шла вдоль грани: $\dfrac{v}{V}=\tan\alpha$, то есть $V=v\,\mathrm{ctg}\,\alpha$.
Шарик опустился на высоту $\ell\sin\alpha$ ($\ell$ — длина штанги): $mg\ell\sin\alpha=\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{MV^2}{2}=\dfrac{v^2}{2}\left(m+M\,\mathrm{ctg}^2\alpha\right)$. Отсюда $v^2=\dfrac{2mg\ell\sin\alpha}{m+M\,\mathrm{ctg}^2\alpha}$.
У пола (штанга горизонтальна) шарик на высоте $0$ со скоростью $v$ вниз; удар упругий — скорость становится $v$ вверх. Дальше штанга всходит, шарик поднимается на высоту $\ell\sin\beta$: $\dfrac{mv^2}{2}=mg\ell\sin\beta\Rightarrow\sin\beta=\dfrac{v^2}{2g\ell}$. Подставляем $v^2$: $\sin\beta=\dfrac{m\sin\alpha}{m+M\,\mathrm{ctg}^2\alpha}$. Для $\alpha=30^\circ$ ($\sin\alpha=\tfrac12$, $\mathrm{ctg}^2 30^\circ=3$): $\sin\beta=\dfrac{m/2}{m+3M}=\dfrac{m}{2m+6M}$.
$\sin\beta=\dfrac{m}{2m+6M}$