ID: 00018636
На горизонтальной плоскости стоит клин массой M с углом при основании \alpha=30^\circ. Вдоль наклонной плоскости клина расположена лёгкая штанга, нижний конец которой укреплён в шарнире, находящемся на горизонтальной плоскости, а к верхнему концу прикреплён маленький шарик массой m, касающийся клина (см. рисунок). Систему освобождают, и она начинает движение, во время которого шарик сохраняет контакт с клином. На какой максимальный угол \beta штанга отклонится от горизонтали после того, как клин отъедет от неё? Трением пренебречь, удар шарика о горизонтальную плоскость считать абсолютно упругим. В ответе укажите синус искомого угла.
Какие законы Вы используете для описания движения шарика и клина? Обоснуйте их применение к данному случаю.
Источник: ФИПИ
Лёгкая штанга закреплена шарниром на полу и лежит вдоль наклонной грани клина (\alpha=30^\circ); на её верхнем конце шарик касается клина. Когда систему отпускают, шарик опускается по дуге (радиус — длина штанги), толкая клин вправо. Штанга станет горизонтальной как раз у пола: тут клин уже уехал, а шарик летит вертикально вниз и упруго отскакивает, после чего по дуге взлетает вверх. Связка идей: сохранение энергии на спуске + геометрическая (кинематическая) связь скоростей шарика и клина + упругий удар сохраняет скорость по модулю.
Шарик закреплён на конце штанги, второй конец которой — шарнир на полу, поэтому шарик всегда на окружности; в нижней (горизонтальной) точке его скорость направлена вертикально (по касательной). Трения нет \Rightarrow применим закон сохранения механической энергии для системы «шарик + клин» (силы реакции и нормального контакта работы не совершают, шарнир неподвижен — его реакция работы не делает). Контакт шарика с гранью даёт связь скоростей: относительная скорость шарика и клина направлена вдоль грани. Удар о пол абсолютно упругий \Rightarrow модуль скорости шарика сохраняется, меняется лишь направление (вниз\toвверх). Тела — материальные точки, штанга невесома.
В момент, когда штанга горизонтальна, скорость шарика v — вертикальна (вниз), скорость клина V — горизонтальна. Контакт по грани с углом \alpha требует, чтобы относительная скорость шла вдоль грани: \dfrac{v}{V}=\tan\alpha, то есть V=v\,\mathrm{ctg}\,\alpha.
Шарик опустился на высоту \ell\sin\alpha (\ell — длина штанги): mg\ell\sin\alpha=\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{MV^2}{2}=\dfrac{v^2}{2}\left(m+M\,\mathrm{ctg}^2\alpha\right). Отсюда v^2=\dfrac{2mg\ell\sin\alpha}{m+M\,\mathrm{ctg}^2\alpha}.
У пола (штанга горизонтальна) шарик на высоте 0 со скоростью v вниз; удар упругий — скорость становится v вверх. Дальше штанга всходит, шарик поднимается на высоту \ell\sin\beta: \dfrac{mv^2}{2}=mg\ell\sin\beta\Rightarrow\sin\beta=\dfrac{v^2}{2g\ell}. Подставляем v^2: \sin\beta=\dfrac{m\sin\alpha}{m+M\,\mathrm{ctg}^2\alpha}. Для \alpha=30^\circ (\sin\alpha=\tfrac12, \mathrm{ctg}^2 30^\circ=3): \sin\beta=\dfrac{m/2}{m+3M}=\dfrac{m}{2m+6M}.
Ответ: \sin\beta=\dfrac{m}{2m+6M}.
\sin\beta=\dfrac{m}{2m+6M}