Идея

Грузы m_1 и m_2 лежат на гладких столах, а m_3 висит в середине на подвижном блоке: одна нить идёт от m_1 через левый неподвижный блок, обегает подвижный блок (на нём висит m_3) и через правый неподвижный блок идёт к m_2. Значит m_3 держат два участка нити — сила 2T. А раз груз висит на двух нитках, опустится он вдвое медленнее, чем «набегает» нить с боков: связь ускорений a_1+a_2=2a_3.

Обоснование

Используем второй закон Ньютона для трёх грузов и кинематическую связь из нерастяжимости нити. Это законно, потому что: блоки невесомы и без трения \Rightarrow натяжение вдоль всей нити одно и то же (T); столы гладкие \Rightarrow на m_1 и m_2 по горизонтали действует только натяжение; нить нерастяжима \Rightarrow суммарная длина постоянна, поэтому если m_3 опускается на x, то с двух боков уходит по x нити, то есть x_1+x_2=2x_3 и a_1+a_2=2a_3. Грузы — материальные точки.

Уравнения

Гладкие столы (по горизонтали тянет только T): m_1a_1=T, m_2a_2=T. Висящий груз (его держит 2T, вниз — сила тяжести): m_3a_3=m_3g-2T.

Считаем

Из первых двух a_1=\dfrac{T}{m_1}, a_2=\dfrac{T}{m_2}. Подставим в связь: T\!\left(\dfrac{1}{m_1}+\dfrac{1}{m_2}\right)=2a_3. Выразим T и подставим в уравнение для m_3: a_3=\dfrac{m_3g\,(m_1+m_2)}{m_3(m_1+m_2)+4m_1m_2}. Числа m_1=2, m_2=4, m_3=1, g=10\ \text{м/с}^2: числитель 1\cdot10\cdot6=60, знаменатель 1\cdot6+4\cdot2\cdot4=6+32=38. Тогда a_3=\dfrac{60}{38}\approx1{,}58\ \text{м/с}^2.

Знак положительный — груз m_3 ускоряется вниз.

Ответ: a_3\approx1{,}58\ \text{м/с}^2, направлено вниз.