Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00018634

Обоснование

1. Введём инерциальную систему отсчёта (ИСО), связанную с Землёй.

2. Все тела движутся поступательно, поэтому их можно считать материальными точками. Применим второй закон Ньютона, записывать его будем относительно ИСО.

3. Так как нить нерастяжима, то её длина остаётся неизменной, значит, можно использовать кинематические связи для описания движения тел.

4. Так как нить невесома и блоки идеальные, трение отсутствует, можно утверждать, что сила натяжения нити вдоль одной нити остаётся неизменной.

5. Силы, действующие на тело, постоянные, а значит, его движение можно считать равноускоренным, что следует из второго закона Ньютона.

Решение

Дано:

$M$, $m$

Найти:

$A$ — ?

Из невесомости нитей и идеальности блоков $T_1 = T_2 = T_3 = T_4 = T_5 = T$, $T_6 = T_7 = T_8$, $T_9 = T_{10}$. Из невесомости блоков $T_6 = 2T$, $T_9 = 2T_7 = 4T$.

Введём ось $X$ так, как показано на рисунке.

На рисунке отмечены координаты грузов $X_m$ и $X_M$ (см. рис.). Также расставим силы для каждого из блоков (пронумерованы). Левая нить натянута с силой $T$, средняя с силой $2T$, а правая с силой $4T$ (из-за невесомости нитей и блоков и отсутствия трения).

Запишем второй закон Ньютона для каждого из грузов:

$\begin{cases} M\vec{A} = M\vec{g} + \vec{T}_1 \\ m\vec{a} = m\vec{g} + \vec{T}_{10}, \end{cases}$

где $A$ и $a$ — ускорения тел массами $M$ и $m$ соответственно.

Спроецируем на вертикальную ось:

$\begin{cases} MA = Mg - T \\ ma = mg - 4T \end{cases}$

Для верхней нити:

$(X_M - x_1) + (x_2 - x_1) + (x_2 - x_1) = l_1.$

Так как $x_1 = \mathrm{const}$, то в приращениях:

$\Delta x_M - \Delta x_1 + \Delta x_2 - \Delta x_1 + \Delta x_2 - \Delta x_1 = \Delta l_1 = \Delta x_M + 2\Delta x_2 = \Delta l_1.$

Возьмём дважды производную:

$A_x + 2a_{2x} = 0.$

Аналогично для нижней нити:

$(x_3 - x_2) + (x_3 - 0) = l_2.$

Опять же в приращениях:

$\Delta x_3 - \Delta x_2 + \Delta x_3 = \Delta l_2$

и, взяв производную:

$2a_{3x} - a_{2x} = 0.$

При этом $a_3 = a_m = a$. Тогда ускорения грузов связаны формулой:

$A + 4a = 0.$

Подставим во второй закон Ньютона:

$\begin{cases} 4MA = 4Mg - 4T \\ -m\dfrac{A}{4} = mg - 4T \end{cases}$

Вычитая, получаем

$4MA - \dfrac{mA}{4} \cdot (-1) = 4Mg - mg \Rightarrow A = \dfrac{4g(4M - m)}{16M + m}$

Ответ: $A = \dfrac{4g(4M - m)}{16M + m}$