ID: 00018634
Найдите модуль ускорения $A$ груза массой $M$ в системе, изображённой на рисунке. Трения нет, блоки невесомы, нити лёгкие и нерастяжимые, их участки, не лежащие на блоках, вертикальны, масса второго груза $m$, ускорение свободного падения равно $g$.
Какие законы Вы использовали для описания движения тел и блоков? Обоснуйте их применимость к данному случаю.
Источник: ФИПИ
Это система «один подвижный + неподвижные блоки». Груз $M$ висит на простой нити (натяжение $T$), а груз $m$ подвешен на участке нити, обегающем подвижные блоки, поэтому его тянет вверх учетверённая сила $4T$. Раз сила в $4$ раза больше, то по «золотому правилу механики» этот груз и перемещается в $4$ раза медленнее. Значит ускорения связаны: $A=4a$. Дальше — обычный второй закон Ньютона для каждого груза.
Применимы второй закон Ньютона для каждого груза и кинематическая связь из нерастяжимости нити. Почему так можно: блоки невесомы и трения в осях нет $\Rightarrow$ нить не «съедает» силу и натяжение вдоль одной нити всюду одинаково ($T$); подвижный блок просто удваивает силу на своём грузе. Нить нерастяжима $\Rightarrow$ длина постоянна, отсюда жёсткая связь перемещений (а значит и ускорений) грузов $A=4a$. Грузы считаем материальными точками, тянущие участки нити вертикальны, поэтому работаем с проекциями на вертикаль.
Пусть $M$ идёт вниз с ускорением $A$, тогда $m$ идёт вверх с ускорением $a=A/4$. Для $M$: $MA=Mg-T$. Для $m$ (его держит $4T$): $ma=4T-mg$.
Из первого: $T=M(g-A)$. Подставляем во второе, помня $a=A/4$: $m\dfrac{A}{4}=4M(g-A)-mg$. Раскрываем: $\dfrac{mA}{4}+4MA=4Mg-mg$, то есть $A\left(\dfrac{m}{4}+4M\right)=g(4M-m)$. Отсюда $A=\dfrac{4(4M-m)}{m+16M}\,g$.
Знак показывает направление: при $4M\gt m$ груз $M$ действительно опускается; при $4M\lt m$ — поднимается. Модуль ускорения:
$A=\dfrac{4\,|4M-m|}{16M+m}\,g$