ID: 00018632
В установке, изображённой на рисунке, грузик A соединён перекинутой через блок нитью с бруском B, лежащим на горизонтальной поверхности трибометра, закреплённого на столе. Грузик отводят в сторону, приподнимая его на некоторую высоту h, и отпускают. Какую величину должна превзойти эта высота, чтобы брусок сдвинулся с места в тот момент, когда грузик проходит нижнюю точку траектории? Масса грузика m, масса бруска M, длина свисающей части нити L, коэффициент трения между бруском и поверхностью \mu. Трением в блоке, а также размерами блока пренебречь.
Какие законы Вы используете для описания движения грузика и бруска? Обоснуйте их применение.
Источник: ФИПИ
Грузик A — это маятник на нити длиной L (свисающая часть). Его подняли на высоту h и отпустили; в нижней точке он летит по дуге, и натяжение нити там больше веса, ведь нужна ещё сила на поворот (центростремительная). Это самое большое натяжение передаётся через блок горизонтально к бруску B. Брусок сдвинется, если натяжение пересилит трение покоя \mu Mg.
Применяем закон сохранения энергии на участке падения грузика и второй закон Ньютона для грузика в нижней точке (где есть центростремительное ускорение), а для бруска — условие начала скольжения. Это законно: на дуге грузик движется без трения (трением в блоке пренебрегаем), поэтому механическая энергия сохраняется и в нижней точке v^2=2gh. Блок лёгкий, без трения и малых размеров \Rightarrow натяжение по обе стороны нити одинаково, и горизонтальная нить тянет брусок силой, равной натяжению у грузика. Брусок до срыва покоится, значит максимум силы трения покоя \approx\mu Mg (нормальная реакция N=Mg, нить горизонтальна и вес бруска не разгружает).
Энергия: mgh=\dfrac{mv^2}{2}\Rightarrow v^2=2gh. В нижней точке для грузика по вертикали: T-mg=\dfrac{mv^2}{L}, откуда T=mg+\dfrac{m\cdot2gh}{L}=mg\!\left(1+\dfrac{2h}{L}\right).
Брусок тронется, когда T\gt \mu Mg: mg\!\left(1+\dfrac{2h}{L}\right)\gt \mu Mg. Сокращаем g и выражаем h: 1+\dfrac{2h}{L}\gt \dfrac{\mu M}{m}\Rightarrow \dfrac{2h}{L}\gt \dfrac{\mu M}{m}-1, то есть h\gt \dfrac{L}{2}\!\left(\dfrac{\mu M}{m}-1\right)=\dfrac{L(\mu M-m)}{2m}.
Ответ: h\gt \dfrac{L\,(\mu M-m)}{2m}. (Если \mu M\le m, брусок сдвинется при любой высоте.)
h>\dfrac{L\,(\mu M-m)}{2m}