ID: 00018631
Горка с двумя вершинами, высоты которых $h$ и $3h$, покоится на гладкой горизонтальной поверхности стола (см. рисунок). На правой вершине горки находится шайба, масса которой в 12 раз меньше массы горки. От незначительного толчка шайба и горка приходят в движение, причём шайба движется влево, не отрываясь от гладкой поверхности горки, а поступательно движущаяся горка не отрывается от стола. Найдите скорость горки в тот момент, когда шайба окажется на левой вершине горки.
Какие законы Вы используете для описания взаимодействия горки и тела? Обоснуйте их применение к данному случаю.
Источник: ФИПИ
Опять связка «тело + горка» на гладком столе. Раз горизонтальных внешних сил нет, общий горизонтальный импульс держится на нуле — это даёт жёсткую связь между скоростью шайбы и скоростью горки. Трения нет → энергия не теряется, и перепад высоты шайбы целиком уходит в кинетику. Здесь масса шайбы в 12 раз меньше массы горки — это и есть ключ к числу.
Поверхность стола и поверхность горки гладкие → на систему «шайба + горка» нет горизонтальных внешних сил (тяжесть и реакция стола вертикальны). Значит горизонтальная проекция импульса системы сохраняется и равна нулю (старт из покоя). Сил трения нет → силы реакции работы не совершают, поэтому сохраняется полная механическая энергия. Тела — материальные точки, горка движется поступательно.
Пусть масса шайбы $m$, тогда масса горки $M = 12m$. Шайба идёт влево со скоростью $v$, горка вправо со скоростью $V$. Нулевой импульс: $m v = M V = 12 m V$, откуда $$v = 12 V.$$
Шайба спускается с вершины $3h$ на вершину $h$, перепад $\Delta H = 3h - h = 2h$: $$m g\,(2h) = \frac{m v^2}{2} + \frac{M V^2}{2}.$$ Подставляем $v = 12V$ и $M = 12m$, делим на $m$: $$2 g h = \frac{(12V)^2}{2} + \frac{12 V^2}{2} = 72 V^2 + 6 V^2 = 78\,V^2.$$
$$V^2 = \frac{2gh}{78} = \frac{gh}{39}\;\Rightarrow\; V = \sqrt{\frac{gh}{39}}.$$
V = √(gh/39)