Задание 26 ЕГЭ по физике №00018630

Идея

Монета и горка — замкнутая по горизонтали система: тянут друг друга по гладким поверхностям, никаких внешних горизонтальных сил нет. Значит «общий горизонтальный импульс» как был ноль, так нулём и остался — это рычаг для связи скоростей. А поскольку трения нигде нет, вся «упавшая» потенциальная энергия монеты целиком ушла в движение (никуда не сгорела) — это второй рычаг. Двух законов хватит, чтобы выразить скорость горки.

Обоснование

Горизонтальная поверхность стола гладкая и поверхность горки гладкая → горизонтальные внешние силы на систему «монета + горка» отсутствуют (сила тяжести и реакция стола вертикальны). Поэтому проекция импульса системы на горизонталь сохраняется, а так как вначале всё покоилось, она равна нулю. Трения нет нигде → работа сил реакции и нормали не меняет механическую энергию, поэтому полная механическая энергия системы сохраняется. Тела считаем материальными точками, горка движется поступательно (вращения нет).

Связь скоростей (импульс)

Пусть монета на левой вершине летит влево со скоростью $v$, а горка катится вправо со скоростью $u$. Сумма импульсов равна нулю: $m v = M u$, откуда масса горки $M = \dfrac{m v}{u}$.

Энергия

Монета опустилась с высоты $h$ на высоту $h/2$, то есть на $\Delta H = h/2$. Эта энергия перешла в кинетику обоих тел: $$m g\frac{h}{2} = \frac{m v^2}{2} + \frac{M u^2}{2}.$$ Подставляем $M = \dfrac{m v}{u}$ и сокращаем $m$: $$g\frac{h}{2} = \frac{v^2}{2} + \frac{v u}{2}\;\Rightarrow\; gh = v^2 + v u.$$

Ответ

Отсюда скорость горки $$u = \frac{gh - v^2}{v} = \frac{gh}{v} - v.$$ Массы сократились — ответ вышел универсальным, через заданную скорость монеты.