ID: 00018630
Горка с двумя вершинами, высоты которых $h$ и $h/2$, покоится на гладкой горизонтальной поверхности стола (см. рисунок). На правой вершине горки находится монета. От незначительного толчка монета и горка приходят в движение, причём монета движется влево, не отрываясь от гладкой поверхности горки, а поступательно движущаяся горка не отрывается от стола. В некоторый момент времени монета оказалась на левой вершине горки, имея скорость $v$. Найдите скорость горки в этот момент.
Какие законы Вы используете для описания взаимодействия горки и тела? Обоснуйте их применение к данному случаю.
Источник: ФИПИ
Монета и горка — замкнутая по горизонтали система: тянут друг друга по гладким поверхностям, никаких внешних горизонтальных сил нет. Значит «общий горизонтальный импульс» как был ноль, так нулём и остался — это рычаг для связи скоростей. А поскольку трения нигде нет, вся «упавшая» потенциальная энергия монеты целиком ушла в движение (никуда не сгорела) — это второй рычаг. Двух законов хватит, чтобы выразить скорость горки.
Горизонтальная поверхность стола гладкая и поверхность горки гладкая → горизонтальные внешние силы на систему «монета + горка» отсутствуют (сила тяжести и реакция стола вертикальны). Поэтому проекция импульса системы на горизонталь сохраняется, а так как вначале всё покоилось, она равна нулю. Трения нет нигде → работа сил реакции и нормали не меняет механическую энергию, поэтому полная механическая энергия системы сохраняется. Тела считаем материальными точками, горка движется поступательно (вращения нет).
Пусть монета на левой вершине летит влево со скоростью $v$, а горка катится вправо со скоростью $u$. Сумма импульсов равна нулю: $m v = M u$, откуда масса горки $M = \dfrac{m v}{u}$.
Монета опустилась с высоты $h$ на высоту $h/2$, то есть на $\Delta H = h/2$. Эта энергия перешла в кинетику обоих тел: $$m g\frac{h}{2} = \frac{m v^2}{2} + \frac{M u^2}{2}.$$ Подставляем $M = \dfrac{m v}{u}$ и сокращаем $m$: $$g\frac{h}{2} = \frac{v^2}{2} + \frac{v u}{2}\;\Rightarrow\; gh = v^2 + v u.$$
Отсюда скорость горки $$u = \frac{gh - v^2}{v} = \frac{gh}{v} - v.$$ Массы сократились — ответ вышел универсальным, через заданную скорость монеты.
u = (gh − v²)/v