ID: 00017710
Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью $C=1$ мкФ и катушки индуктивности. В контуре происходят свободные электромагнитные колебания. В таблице приведена зависимость энергии $W$, запасённой в конденсаторе, от времени $t$ (см. рисунок).
По данным таблицы: энергия конденсатора равна нулю в моменты $t=0$ нс и $t=500$ нс и достигает максимума $W_{\max}=50$ мкДж в моменты $t=250$ нс и $t=750$ нс.
На основании анализа этой таблицы выберите все верные утверждения.
1) Индуктивность катушки равна примерно 25 нГн.
2) Максимальное напряжение на конденсаторе равно 10 кВ.
3) Период электромагнитных колебаний в контуре равен 1 мкс.
4) Максимальное напряжение на конденсаторе равно 10 В.
5) Период электромагнитных колебаний в контуре равен 0,5 мкс.
$t$, нс | 0 | 62,5 | 125 | 187,5 | 250 | 312,5 | 375 | 437,5 | 500 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
$W$, мкДж | 0 | 7,32 | 25,00 | 42,68 | 50,00 | 42,68 | 25,00 | 7,32 | 0,00 |
Источник: ФИПИ
В контуре энергия всё время «переливается» между конденсатором и катушкой, как вода между двумя сообщающимися банками. Когда вся энергия в конденсаторе — заряд максимален, когда конденсатор пуст ($W=0$) — заряд равен нулю. Энергия конденсатора зависит от квадрата заряда, поэтому она колеблется вдвое чаще самого заряда. Это ключ к чтению таблицы.
Из таблицы $W=0$ при $t=0$ (заряд $q=0$) и снова $W=0$ при $t=500$ нс. Но между ними заряд успел дойти до максимума (при $t=250$ нс) и вернуться к нулю — это уже движение к противоположному знаку. Полный цикл заряда: $0\to+q_{\max}\to0\to-q_{\max}\to0$. Заряд возвращается «в ту же точку с тем же знаком» только при $t=1000$ нс. Значит $T=1000$ нс $=1$ мкс. Утверждение 3 верно, 5 неверно.
Когда вся энергия в конденсаторе, $W_{\max}=\dfrac{CU_{\max}^2}{2}$. Отсюда $U_{\max}=\sqrt{\dfrac{2W_{\max}}{C}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 50\cdot10^{-6}}{1\cdot10^{-6}}}=\sqrt{100}=10$ В. Утверждение 4 верно, 2 (10 кВ) неверно.
Из формулы Томсона $T=2\pi\sqrt{LC}$ выражаем $L=\dfrac{T^2}{4\pi^2 C}=\dfrac{(10^{-6})^2}{4\pi^2\cdot10^{-6}}\approx 2{,}5\cdot10^{-8}$ Гн $=25$ нГн. Утверждение 1 верно.