Дано

Показатель преломления стекла n_{\text{ст}} = 1{,}80. Плёнка: толщина d = 150 нм, показатель n = 1{,}2. Свет падает по нормали. Найти длину волны видимого света \lambda, для которой плёнка просветляющая.

Идея

Просветление — это когда два отражённых луча гасят друг друга (интерференция в «минус»). Свет частично отражается дважды: сверху, от границы воздух–плёнка, и снизу, от границы плёнка–стекло. Если эти две отражённые волны встречаются в противофазе («горб» одной попадает на «впадину» другой), они взаимно гасятся — отражения почти нет, и плёнка просветляющая.

Что со скачком фазы. При отражении от среды, где свет идёт медленнее (показатель больше), волна «переворачивается» — теряет полволны. У нас 1 \lt 1{,}2 \lt 1{,}80: и на верхней границе (воздух \to плёнка), и на нижней (плёнка \to стекло) свет отражается от более плотной среды. Значит, обе волны теряют полволны ОДИНАКОВО — этот скачок у них общий и из разности фаз выпадает. Поэтому учитываем только геометрическую разность хода.

Разность хода. Нижний луч проходит плёнку туда и обратно — лишний путь 2d, но мерить надо в «оптических» единицах, то есть умножить на показатель плёнки: оптическая разность хода \Delta = 2 n d.

Условие гашения

Чтобы волны погасились, разность хода должна равняться нечётному числу полуволн:

2 n d = \left(m + \dfrac{1}{2}\right)\lambda, где m = 0,\,1,\,2,\ldots

Отсюда длина волны:

\lambda = \dfrac{2 n d}{m + \tfrac{1}{2}}.

Подставим n = 1{,}2, d = 150 нм:

\lambda = \dfrac{2 \cdot 1{,}2 \cdot 150}{m + 0{,}5} = \dfrac{360}{m + 0{,}5} нм.

При m = 0: \lambda = \dfrac{360}{0{,}5} = 720 нм — это красный край видимого диапазона. При m = 1: \lambda = 240 нм — это уже ультрафиолет, не видимый свет. Значит, подходит только

λ = 720 нм.