Дано

h = 40 м — пройденный путь (он же убыль высоты при вертикальном падении),
v_0 = 0 — начальная скорость,
v = 20 м/с — скорость в конце участка,
g = 10 м/с².
Найти: \dfrac{\Delta E_п}{A_{сопр}}.

Идея

Если бы воздух не мешал, тело за 40 м разогналось бы до \sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot10\cdot40}\approx 28 м/с. А по условию скорость всего 20 м/с — значит, часть энергии «съело» сопротивление воздуха. Запишем теорему об изменении кинетической энергии: её прирост равен сумме работ всех сил.

На груз действуют сила тяжести и сила сопротивления. Работа силы тяжести при опускании на h равна A_{тяж}=mgh (сила вниз, перемещение вниз — работа положительная).

Изменение потенциальной энергии — это её убыль: тело опустилось, поэтому \Delta E_п = E_{п,кон}-E_{п,нач} = -mgh (потенциальная энергия уменьшилась).

Теорема о кинетической энергии:

\Delta E_к = \frac{mv^2}{2}-0 = A_{тяж}+A_{сопр}=mgh+A_{сопр}.

Отсюда работа сопротивления:

A_{сопр}=\frac{mv^2}{2}-mgh = m\left(\frac{v^2}{2}-gh\right).

Подставим числа (массу m оставим буквой — она сократится):

\frac{v^2}{2}-gh = \frac{400}{2}-10\cdot40 = 200-400 = -200,\qquad A_{сопр}=-200\,m\ \text{(Дж)}.

Знак «минус» естественен: сопротивление направлено против движения, работа отрицательна.

Изменение потенциальной энергии: \Delta E_п=-mgh=-400\,m (Дж).

Ищем отношение:

\frac{\Delta E_п}{A_{сопр}}=\frac{-400\,m}{-200\,m}=2.

Масса сократилась, знаки тоже — ответ положительный и безразмерный.

Ответ: 2.