ID: 00017629
Сталкиваются и слипаются два разных по массе пластилиновых шарика, причём векторы их скоростей непосредственно перед столкновением направлены навстречу друг другу и одинаковы по модулю: $v_1 = v_2 = 1$ м/с. Во сколько раз масса тяжёлого шарика больше, чем лёгкого, если сразу после столкновения их скорость стала равной (по модулю) $v = 0,5$ м/с?
Источник: ФИПИ
$v_1 = v_2 = 1$ м/с (навстречу друг другу)
после слипания $v = 0,5$ м/с
$M$ — масса тяжёлого, $m$ — масса лёгкого
Найти: $M/m$ — ?
Шарики слиплись — это абсолютно неупругий удар. Кинетическая энергия тут не сохраняется (часть ушла на деформацию пластилина), а вот импульс сохраняется всегда. Движение вдоль одной прямой, поэтому можно работать с проекциями на эту прямую — но со знаками, ведь шарики летели навстречу.
Направим ось вдоль движения тяжёлого шарика. Тогда его скорость $+v_1$, а лёгкий летит навстречу, его скорость $-v_2$. После удара слипшийся комок поедет в ту сторону, у кого было больше импульса. Логично, что верх возьмёт тяжёлый, поэтому итоговую скорость берём со знаком «плюс»: $+v$.
Закон сохранения импульса:
$$M v_1 - m v_2 = (M + m)\, v.$$
Подставим числа ($v_1 = v_2 = 1$ м/с, $v = 0,5$ м/с):
$$M \cdot 1 - m \cdot 1 = (M + m)\cdot 0,5,$$
$$M - m = 0,5 M + 0,5 m.$$
Переносим всё с $M$ влево, с $m$ — вправо:
$$M - 0,5 M = m + 0,5 m \;\Rightarrow\; 0,5 M = 1,5 m.$$
Делим обе части на $0,5\,m$:
$$\dfrac{M}{m} = \dfrac{1,5}{0,5} = 3.$$
Тяжёлый шарик тяжелее лёгкого в 3 раза.