Колебания — Задание 22 ЕГЭ по физике №00017622

Дано

$T_1 = 1$ с (математический маятник)
$T_2 = 2T_1 = 2$ с (пружинный маятник)
$g = 10$ м/с$^2$
Найти: $x_0$ — деформация пружины в равновесии — ?

Идея

Сразу заметим ловушку: период математического маятника $T_1$ нам вообще не понадобится — он дан, только чтобы задать $T_2 = 2$ с. Всё решает пружинный маятник.

Решение

Шаг 1. Что такое равновесие пружины. Когда груз спокойно висит на пружине, его держит сила упругости, уравновешивающая вес. По закону Гука и второму закону Ньютона в равновесии:

$$k x_0 = m g \quad\Rightarrow\quad x_0 = \dfrac{m g}{k} = \dfrac{g}{k/m}.$$

Видно, что нам нужно не $k$ и $m$ по отдельности, а только их отношение $k/m$.

Шаг 2. Достаём $k/m$ из периода. Период пружинного маятника связан как раз с этим отношением:

$$T_2 = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{k}{m} = \dfrac{4\pi^2}{T_2^2}.$$

Шаг 3. Собираем формулу. Подставим отношение в выражение для деформации:

$$x_0 = \dfrac{g}{k/m} = \dfrac{g\,T_2^2}{4\pi^2}.$$

Получилась красивая связь: деформация пружины в равновесии полностью определяется периодом её колебаний. Подставим числа ($g = 10$ м/с², $T_2 = 2$ с, $\pi \approx 3{,}14$):

$$x_0 = \dfrac{10\cdot 2^2}{4\cdot 3{,}14^2} = \dfrac{40}{39{,}44} \approx 1{,}01\ \text{м}.$$