Дано

A = 4 см = 0{,}04 м
m = 400 г = 0{,}4 кг
k = 40 Н/м
Найти: v_{max} — ?

Решение

Груз на пружине ходит туда-сюда — это гармонические колебания. Скорость груза всё время меняется: на краях (в точках максимального отклонения) груз на мгновение замирает, v=0, а вот ровно в середине, когда пружина не растянута и не сжата, груз проносится с самой большой скоростью. Нам нужна именно эта максимальная скорость.

Для гармонических колебаний максимальная скорость связана с амплитудой и циклической (круговой) частотой \omega простой формулой:

v_{max} = A\,\omega.

Почему так? Координата меняется по закону x = A\cos(\omega t), а скорость — это быстрота изменения координаты, v = -A\,\omega\sin(\omega t). Самое большое значение синуса равно единице, поэтому и скорость в максимуме равна A\,\omega.

Осталось найти \omega. Для пружинного маятника частота зависит от того, насколько жёсткая пружина и насколько тяжёлый груз:

\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}.

Жёсткая пружина (большое k) тянет сильнее — колеблется быстрее; тяжёлый груз (большое m) раскачать труднее — колеблется медленнее.

Подставим в формулу скорости:

v_{max} = A\sqrt{\dfrac{k}{m}} = 0{,}04\cdot\sqrt{\dfrac{40}{0{,}4}} = 0{,}04\cdot\sqrt{100} = 0{,}04\cdot 10.

v_{max} = 0{,}4\ \text{м/с}.

Ответ: 0,4 м/с.