Колебания — Задание 22 ЕГЭ по физике №00017619

Дано

$A = 4$ см $= 0{,}04$ м
$m = 400$ г $= 0{,}4$ кг
$k = 40$ Н/м
Найти: $v_{max}$ — ?

Решение

Груз на пружине ходит туда-сюда — это гармонические колебания. Скорость груза всё время меняется: на краях (в точках максимального отклонения) груз на мгновение замирает, $v=0$, а вот ровно в середине, когда пружина не растянута и не сжата, груз проносится с самой большой скоростью. Нам нужна именно эта максимальная скорость.

Для гармонических колебаний максимальная скорость связана с амплитудой и циклической (круговой) частотой $\omega$ простой формулой:

$$v_{max} = A\,\omega.$$

Почему так? Координата меняется по закону $x = A\cos(\omega t)$, а скорость — это быстрота изменения координаты, $v = -A\,\omega\sin(\omega t)$. Самое большое значение синуса равно единице, поэтому и скорость в максимуме равна $A\,\omega$.

Осталось найти $\omega$. Для пружинного маятника частота зависит от того, насколько жёсткая пружина и насколько тяжёлый груз:

$$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}.$$

Жёсткая пружина (большое $k$) тянет сильнее — колеблется быстрее; тяжёлый груз (большое $m$) раскачать труднее — колеблется медленнее.

Подставим в формулу скорости:

$$v_{max} = A\sqrt{\dfrac{k}{m}} = 0{,}04\cdot\sqrt{\dfrac{40}{0{,}4}} = 0{,}04\cdot\sqrt{100} = 0{,}04\cdot 10.$$

$$v_{max} = 0{,}4\ \text{м/с}.$$