ID: 00017609
Внутри неподвижной гладкой сферической поверхности радиусом R=20 см в поле силы тяжести скользит по горизонтальной круговой траектории радиусом r_1=10 см маленькое тело. Другое такое же тело скользит при тех же условиях по аналогичной траектории радиусом r_2=15 см. Найдите отношение V_2/V_1 модулей скоростей движения данных тел по указанным траекториям.
Источник: ФИПИ
R=20 см; r_1=10 см; r_2=15 см. Найти \dfrac{V_2}{V_1}.
Тело скользит по внутренней поверхности сферы, описывая горизонтальный круг. На него действуют две силы: тяжесть m\vec g вниз и реакция гладкой поверхности \vec N, направленная к центру сферы O (поверхность вогнутая, давит внутрь). Вертикально тело не движется, значит вертикальные составляющие уравновешены; горизонтальная составляющая реакции и есть центростремительная сила.
Пусть \alpha — угол между радиусом сферы OP (к телу P) и вертикалью. Тогда горизонтальное удаление тела от оси (радиус круга) r=R\sin\alpha, а вертикальная составляющая OP равна R\cos\alpha. Реакция \vec N направлена вдоль PO, её вертикальная часть вверх N\cos\alpha, горизонтальная (к оси) N\sin\alpha.
Вертикаль: N\cos\alpha=mg.
Горизонталь (центростремительное): N\sin\alpha=\dfrac{mV^2}{r}.
Делим второе на первое: \tan\alpha=\dfrac{V^2}{rg}, откуда V^2=rg\tan\alpha.
Так как \sin\alpha=\dfrac{r}{R}, то \cos\alpha=\dfrac{\sqrt{R^2-r^2}}{R} и \tan\alpha=\dfrac{r}{\sqrt{R^2-r^2}}. Подставляем: V^2=rg\cdot\dfrac{r}{\sqrt{R^2-r^2}}=\dfrac{g\,r^2}{\sqrt{R^2-r^2}}, то есть V=\dfrac{r\sqrt{g}}{(R^2-r^2)^{1/4}}.
\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{r_2}{r_1}\cdot\left(\dfrac{R^2-r_1^2}{R^2-r_2^2}\right)^{1/4}.
Считаем (в см²): R^2=400, R^2-r_1^2=400-100=300, R^2-r_2^2=400-225=175.
\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{15}{10}\cdot\left(\dfrac{300}{175}\right)^{1/4}=1{,}5\cdot(1{,}714)^{1/4}=1{,}5\cdot1{,}144\approx1{,}72.
Ответ: \dfrac{V_2}{V_1}\approx1{,}72.
V₂/V₁ ≈ 1,72.