ID: 00017609
Внутри неподвижной гладкой сферической поверхности радиусом $R=20$ см в поле силы тяжести скользит по горизонтальной круговой траектории радиусом $r_1=10$ см маленькое тело. Другое такое же тело скользит при тех же условиях по аналогичной траектории радиусом $r_2=15$ см. Найдите отношение $V_2/V_1$ модулей скоростей движения данных тел по указанным траекториям.
Источник: ФИПИ
$R=20$ см; $r_1=10$ см; $r_2=15$ см. Найти $\dfrac{V_2}{V_1}$.
Тело скользит по внутренней поверхности сферы, описывая горизонтальный круг. На него действуют две силы: тяжесть $m\vec g$ вниз и реакция гладкой поверхности $\vec N$, направленная к центру сферы $O$ (поверхность вогнутая, давит внутрь). Вертикально тело не движется, значит вертикальные составляющие уравновешены; горизонтальная составляющая реакции и есть центростремительная сила.
Пусть $\alpha$ — угол между радиусом сферы $OP$ (к телу $P$) и вертикалью. Тогда горизонтальное удаление тела от оси (радиус круга) $r=R\sin\alpha$, а вертикальная составляющая $OP$ равна $R\cos\alpha$. Реакция $\vec N$ направлена вдоль $PO$, её вертикальная часть вверх $N\cos\alpha$, горизонтальная (к оси) $N\sin\alpha$.
Вертикаль: $N\cos\alpha=mg$.
Горизонталь (центростремительное): $N\sin\alpha=\dfrac{mV^2}{r}$.
Делим второе на первое: $\tan\alpha=\dfrac{V^2}{rg}$, откуда $V^2=rg\tan\alpha$.
Так как $\sin\alpha=\dfrac{r}{R}$, то $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{R^2-r^2}}{R}$ и $\tan\alpha=\dfrac{r}{\sqrt{R^2-r^2}}$. Подставляем: $V^2=rg\cdot\dfrac{r}{\sqrt{R^2-r^2}}=\dfrac{g\,r^2}{\sqrt{R^2-r^2}}$, то есть $V=\dfrac{r\sqrt{g}}{(R^2-r^2)^{1/4}}$.
$\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{r_2}{r_1}\cdot\left(\dfrac{R^2-r_1^2}{R^2-r_2^2}\right)^{1/4}$.
Считаем (в см²): $R^2=400$, $R^2-r_1^2=400-100=300$, $R^2-r_2^2=400-225=175$.
$\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{15}{10}\cdot\left(\dfrac{300}{175}\right)^{1/4}=1{,}5\cdot(1{,}714)^{1/4}=1{,}5\cdot1{,}144\approx1{,}72$.
V₂/V₁ ≈ 1,72.