Динамика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00017609

Дано

$R=20$ см; $r_1=10$ см; $r_2=15$ см. Найти $\dfrac{V_2}{V_1}$.

Идея

Тело скользит по внутренней поверхности сферы, описывая горизонтальный круг. На него действуют две силы: тяжесть $m\vec g$ вниз и реакция гладкой поверхности $\vec N$, направленная к центру сферы $O$ (поверхность вогнутая, давит внутрь). Вертикально тело не движется, значит вертикальные составляющие уравновешены; горизонтальная составляющая реакции и есть центростремительная сила.

Геометрия

Пусть $\alpha$ — угол между радиусом сферы $OP$ (к телу $P$) и вертикалью. Тогда горизонтальное удаление тела от оси (радиус круга) $r=R\sin\alpha$, а вертикальная составляющая $OP$ равна $R\cos\alpha$. Реакция $\vec N$ направлена вдоль $PO$, её вертикальная часть вверх $N\cos\alpha$, горизонтальная (к оси) $N\sin\alpha$.

Законы Ньютона

Вертикаль: $N\cos\alpha=mg$.

Горизонталь (центростремительное): $N\sin\alpha=\dfrac{mV^2}{r}$.

Делим второе на первое: $\tan\alpha=\dfrac{V^2}{rg}$, откуда $V^2=rg\tan\alpha$.

Вывод формулы для скорости

Так как $\sin\alpha=\dfrac{r}{R}$, то $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{R^2-r^2}}{R}$ и $\tan\alpha=\dfrac{r}{\sqrt{R^2-r^2}}$. Подставляем: $V^2=rg\cdot\dfrac{r}{\sqrt{R^2-r^2}}=\dfrac{g\,r^2}{\sqrt{R^2-r^2}}$, то есть $V=\dfrac{r\sqrt{g}}{(R^2-r^2)^{1/4}}$.

Отношение

$\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{r_2}{r_1}\cdot\left(\dfrac{R^2-r_1^2}{R^2-r_2^2}\right)^{1/4}$.

Считаем (в см²): $R^2=400$, $R^2-r_1^2=400-100=300$, $R^2-r_2^2=400-225=175$.

$\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{15}{10}\cdot\left(\dfrac{300}{175}\right)^{1/4}=1{,}5\cdot(1{,}714)^{1/4}=1{,}5\cdot1{,}144\approx1{,}72$.