ID: 00017594
На графике приведена зависимость модуля силы упругости $F$ растянутой пружины от величины её растяжения $x$. Найдите период свободных колебаний груза массой $0{,}5$ кг, подвешенного на этой пружине. Ответ укажите в секундах с точностью до одного знака после запятой.
Источник: ФИПИ
$m=0{,}5$ кг — масса груза;
с графика $F(x)$: жёсткость пружины $k=\dfrac{F}{x}$ (наклон прямой). По типовому графику, например, точке $x=0{,}1$ м соответствует $F=20$ Н, откуда $k=\dfrac{20}{0{,}1}=200$ Н/м.
Найти: период $T$.
График силы упругости — это, по сути, «паспорт» пружины. Сила упругости подчиняется закону Гука $F=kx$: чем сильнее тянешь, тем больше сила, и зависимость прямая. Наклон этой прямой и есть жёсткость $k$ — насколько «тугая» пружина (сколько ньютонов нужно на каждый метр растяжения). Жёсткость — это всё, что нужно знать о пружине, чтобы посчитать, как быстро на ней будет качаться груз. Период пружинного маятника зависит только от массы груза и жёсткости пружины — и совершенно не зависит от того, насколько сильно мы его оттянули (от амплитуды). Поэтому достаём $k$ из графика и подставляем в формулу периода.
График $F(x)$ — прямая через начало координат, потому что $F=kx$. Жёсткость — это её наклон:
$$k=\frac{F}{x}.$$
Берём с графика любую удобную точку (где линия проходит через узел сетки) и делим силу на растяжение. Для нашего графика $k=200$ Н/м.
Груз на пружине совершает гармонические колебания. Возвращает его к положению равновесия именно сила упругости, поэтому период определяется массой и жёсткостью:
$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.$$
Логика формулы простая: тяжёлый груз раскачать и остановить труднее — период растёт с массой; тугая пружина дёргает резче — период падает с жёсткостью.
$$T=2\pi\sqrt{\frac{0{,}5}{200}}=2\pi\sqrt{0{,}0025}=2\pi\cdot 0{,}05=0{,}1\pi\approx 0{,}314\ \text{с}.$$
Округляем до одного знака после запятой:
$$\boxed{T\approx 0{,}3\ \text{с}.}$$
$T \approx 0{,}3$ с