ID: 00017593
В теплоизолированном сосуде под поршнем находится 1 моль гелия при температуре 300 К (обозначим это состояние системы номером 1). В сосуд через специальный патрубок с краном добавили ещё 2 моля гелия при температуре 450 К и дождались установления теплового равновесия. После этого, убрав теплоизоляцию, весь оказавшийся под поршнем газ медленно изобарически сжали, изменив его объём в 2 раза (обозначим это состояние системы номером 2). Как и во сколько раз изменилась внутренняя энергия системы при переходе из состояния 1 в состояние 2?
Источник: ФИПИ
$\nu_a = 1$ моль, $T_a = 300$ К — первая порция гелия;
$\nu_b = 2$ моль, $T_b = 450$ К — добавленная порция гелия;
сжатие изобарное, объём уменьшается в 2 раза: $V_2 = \dfrac{V_1}{2}$.
Гелий — одноатомный (молярная теплоёмкость в формуле внутренней энергии $\tfrac{3}{2}R$).
Найти: как и во сколько раз изменилась внутренняя энергия системы $U_2/U_1$.
Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры и количества вещества: $U = \dfrac{3}{2}\,\nu R T$. Поэтому задача сводится к тому, чтобы найти температуру в состоянии 1 (после смешивания двух порций) и в состоянии 2 (после изобарного сжатия), а потом просто сравнить $U_2$ и $U_1$. Количество вещества при этом постоянно — газ один и тот же, ничего не выпускали.
Шаг 1. Температура смеси (состояние 1). Сосуд теплоизолирован, значит тепло наружу не уходит: вся внутренняя энергия двух порций просто складывается (почему — потому что в адиабатной системе при отсутствии работы над внешними телами $U$ сохраняется). Запишем баланс энергии:
$\dfrac{3}{2}\nu_a R T_a + \dfrac{3}{2}\nu_b R T_b = \dfrac{3}{2}(\nu_a+\nu_b) R T_1.$
Множитель $\tfrac{3}{2}R$ сокращается, и температура смеси — это среднее, взвешенное по количеству вещества:
$T_1 = \dfrac{\nu_a T_a + \nu_b T_b}{\nu_a + \nu_b} = \dfrac{1\cdot 300 + 2\cdot 450}{1+2} = \dfrac{300 + 900}{3} = 400\ \text{К}.$
В состоянии 1: $\nu = 3$ моль, $T_1 = 400$ К.
Шаг 2. Температура после изобарного сжатия (состояние 2). Давление постоянно, поэтому работает закон Гей-Люссака $\dfrac{V}{T} = \text{const}$ (почему — при $p=\text{const}$ из уравнения $pV=\nu RT$ отношение объёма к температуре фиксировано). Объём уменьшили вдвое, значит во столько же раз падает температура:
$\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2}\ \Rightarrow\ T_2 = T_1\cdot\dfrac{V_2}{V_1} = 400\cdot\dfrac{1}{2} = 200\ \text{К}.$
Шаг 3. Сравниваем внутренние энергии. Количество вещества одинаковое ($\nu = 3$ моль и там, и там), поэтому отношение энергий равно отношению температур:
$\dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{\tfrac{3}{2}\nu R T_2}{\tfrac{3}{2}\nu R T_1} = \dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{200}{400} = \dfrac{1}{2}.$
Температура упала вдвое — значит и внутренняя энергия упала вдвое.
Внутренняя энергия системы уменьшилась в 2 раза.