ID: 00017592
Вертикальный цилиндр закрыт горизонтально расположенным поршнем массой $1$ кг и площадью $0{,}02\ \text{м}^2$, который может свободно перемещаться. Под поршнем находится $0{,}1$ моля идеального одноатомного газа при некоторой температуре $T_0$. Над поршнем находится воздух при нормальном атмосферном давлении. Сначала газу сообщили количество теплоты $3$ Дж, потом закрепили поршень и охладили газ до начальной температуры $T_0$. При этом давление газа под поршнем стало равно атмосферному. Чему равна температура $T_0$?
Источник: ФИПИ
$m = 1$ кг — масса поршня; $S = 0{,}02\ \text{м}^2$ — площадь; $\nu = 0{,}1$ моль; $Q = 3$ Дж; $p_0 = 10^5$ Па — атмосферное давление; $g = 10\ \text{м/с}^2$. Газ одноатомный.
Найти: $T_0$.
Поршень лежит на газе сверху и давит на него своим весом, поэтому пока он свободен — газ держит давление чуть больше атмосферного. История из трёх состояний: (A) старт при $T_0$; (B) газу дали теплоту, поршень свободен — газ расширяется при постоянном давлении и нагревается; (C) поршень закрепили (объём замер) и газ остудили обратно до $T_0$. Нам говорят: в конце давление стало ровно атмосферным. Это и есть зацепка, которая свяжет всё вместе.
Свободный поршень в равновесии: снизу его подпирает газ, сверху давит атмосфера плюс собственный вес поршня. Поэтому газ держит давление побольше атмосферного:
$p_1 = p_0 + \dfrac{mg}{S} = 10^5 + \dfrac{1\cdot 10}{0{,}02} = 10^5 + 500 = 100\,500\ \text{Па}.$
В состоянии C поршень закреплён, объём равен расширившемуся $V_B$, температура снова $T_0$, а давление стало $p_0$. Сравним C со стартом A (там было $p_1$, объём $V_0$, температура тоже $T_0$). Температура одна и та же $\Rightarrow$ по закону Бойля–Мариотта $p_1 V_0 = p_0 V_B$. Отсюда видно, что объём при нагреве вырос: $V_B = V_0\,\dfrac{p_1}{p_0}$.
Пока поршень свободен, давление держится $p_1$, то есть нагрев идёт при постоянном давлении. Тепло на изобаре частью идёт в копилку, частью на работу; вместе это даёт $Q = \frac{5}{2}\nu R\,\Delta T$, где $\Delta T = T_B - T_0$. Найдём $\Delta T$ через состояния. Из $p_1 V_0 = \nu R T_0$ и $p_1 V_B = \nu R T_B$ получаем $T_B = T_0\,\dfrac{V_B}{V_0} = T_0\,\dfrac{p_1}{p_0}$, значит
$\Delta T = T_B - T_0 = T_0\left(\dfrac{p_1}{p_0} - 1\right) = T_0\,\dfrac{p_1 - p_0}{p_0} = T_0\,\dfrac{mg/S}{p_0}.$
Подставляем $\Delta T$ в тепло изобары:
$Q = \dfrac{5}{2}\nu R\,T_0\,\dfrac{mg/S}{p_0} \;\Rightarrow\; T_0 = \dfrac{2\,Q\,p_0}{5\,\nu R\,(mg/S)}.$
Считаем ($\frac{mg}{S}=500$ Па, $R=8{,}31$):
$T_0 = \dfrac{2\cdot 3\cdot 10^5}{5\cdot 0{,}1\cdot 8{,}31\cdot 500} = \dfrac{6\cdot10^5}{2077{,}5} \approx 289\ \text{К}.$
Округляем до десятков:
290 К