ID: 00017592
Вертикальный цилиндр закрыт горизонтально расположенным поршнем массой 1 кг и площадью 0{,}02\ \text{м}^2, который может свободно перемещаться. Под поршнем находится 0{,}1 моля идеального одноатомного газа при некоторой температуре T_0. Над поршнем находится воздух при нормальном атмосферном давлении. Сначала газу сообщили количество теплоты 3 Дж, потом закрепили поршень и охладили газ до начальной температуры T_0. При этом давление газа под поршнем стало равно атмосферному. Чему равна температура T_0?
Источник: ФИПИ
m = 1 кг — масса поршня; S = 0{,}02\ \text{м}^2 — площадь; \nu = 0{,}1 моль; Q = 3 Дж; p_0 = 10^5 Па — атмосферное давление; g = 10\ \text{м/с}^2. Газ одноатомный.
Найти: T_0.
Поршень лежит на газе сверху и давит на него своим весом, поэтому пока он свободен — газ держит давление чуть больше атмосферного. История из трёх состояний: (A) старт при T_0; (B) газу дали теплоту, поршень свободен — газ расширяется при постоянном давлении и нагревается; (C) поршень закрепили (объём замер) и газ остудили обратно до T_0. Нам говорят: в конце давление стало ровно атмосферным. Это и есть зацепка, которая свяжет всё вместе.
Свободный поршень в равновесии: снизу его подпирает газ, сверху давит атмосфера плюс собственный вес поршня. Поэтому газ держит давление побольше атмосферного:
p_1 = p_0 + \dfrac{mg}{S} = 10^5 + \dfrac{1\cdot 10}{0{,}02} = 10^5 + 500 = 100\,500\ \text{Па}.
В состоянии C поршень закреплён, объём равен расширившемуся V_B, температура снова T_0, а давление стало p_0. Сравним C со стартом A (там было p_1, объём V_0, температура тоже T_0). Температура одна и та же \Rightarrow по закону Бойля–Мариотта p_1 V_0 = p_0 V_B. Отсюда видно, что объём при нагреве вырос: V_B = V_0\,\dfrac{p_1}{p_0}.
Пока поршень свободен, давление держится p_1, то есть нагрев идёт при постоянном давлении. Тепло на изобаре частью идёт в копилку, частью на работу; вместе это даёт Q = \frac{5}{2}\nu R\,\Delta T, где \Delta T = T_B - T_0. Найдём \Delta T через состояния. Из p_1 V_0 = \nu R T_0 и p_1 V_B = \nu R T_B получаем T_B = T_0\,\dfrac{V_B}{V_0} = T_0\,\dfrac{p_1}{p_0}, значит
\Delta T = T_B - T_0 = T_0\left(\dfrac{p_1}{p_0} - 1\right) = T_0\,\dfrac{p_1 - p_0}{p_0} = T_0\,\dfrac{mg/S}{p_0}.
Подставляем \Delta T в тепло изобары:
Q = \dfrac{5}{2}\nu R\,T_0\,\dfrac{mg/S}{p_0} \;\Rightarrow\; T_0 = \dfrac{2\,Q\,p_0}{5\,\nu R\,(mg/S)}.
Считаем (\frac{mg}{S}=500 Па, R=8{,}31):
T_0 = \dfrac{2\cdot 3\cdot 10^5}{5\cdot 0{,}1\cdot 8{,}31\cdot 500} = \dfrac{6\cdot10^5}{2077{,}5} \approx 289\ \text{К}.
Округляем до десятков:
Ответ: 290 К.
290 К