ID: 00017591
Идеальный одноатомный газ в исходном состоянии $1$ обладает внутренней энергией $1{,}6$ кДж. Этот газ изотермически переводят в состояние $2$ — при этом газ совершает работу $2$ кДж и его объём возрастает в $4$ раза. Затем газ изобарически переводят в состояние $3$, сжимая его до исходного объёма. Наконец газ изохорически возвращают в начальное состояние $1$. Какую работу совершает газ в циклическом процессе $1$–$2$–$3$–$1$?
Источник: ФИПИ
$U_1 = 1{,}6$ кДж; процесс $1\to2$ изотермический, $A_{12}=2$ кДж, $V_2 = 4V_1$; процесс $2\to3$ изобарический, объём сжимают обратно до $V_3 = V_1$; процесс $3\to1$ изохорический. Газ одноатомный.
Найти: $A_{цикл}$ — работу газа за весь цикл.
Цикл из трёх кусочков. Работа за цикл — это просто сумма работ на каждом кусочке: $A_{цикл}=A_{12}+A_{23}+A_{31}$. С первым куском всё дано. Третий (изохора) сразу нулевой — объём не меняется. Значит вся соль в работе на изобаре $A_{23}=p_2(V_3-V_2)$. Чтобы её посчитать, нам нужно произведение $p_2 V_1$, а его мы достанем из начальной копилки $U_1$.
Для одноатомного газа $U = \frac{3}{2}\nu R T = \frac{3}{2}pV$ (ведь $\nu R T = pV$). Значит в состоянии 1:
$p_1 V_1 = \frac{2}{3}U_1 = \frac{2}{3}\cdot 1{,}6 = \frac{3{,}2}{3} \approx 1{,}067\ \text{кДж}.$
Процесс $1\to2$ изотермический (температура постоянна). По закону Бойля–Мариотта $p_1 V_1 = p_2 V_2$. Так как $V_2 = 4V_1$, давление падает в 4 раза: $p_2 = \dfrac{p_1}{4}$. Значит
$p_2 V_1 = \dfrac{p_1 V_1}{4} = \dfrac{1{,}067}{4} \approx 0{,}267\ \text{кДж}.$
При постоянном давлении работа $A = p\,\Delta V$. Газ сжимают от $V_2=4V_1$ до $V_3=V_1$, поэтому $\Delta V = V_1 - 4V_1 = -3V_1$ (минус — объём уменьшается, работу совершают над газом):
$A_{23} = p_2(V_3 - V_2) = p_2\cdot(-3V_1) = -3\,(p_2 V_1) = -3\cdot 0{,}267 = -0{,}8\ \text{кДж}.$
Изохора $3\to1$: объём не меняется, $A_{31}=0$. Складываем:
$A_{цикл} = A_{12} + A_{23} + A_{31} = 2 + (-0{,}8) + 0 = 1{,}2\ \text{кДж}.$
1,2 кДж