Термодинамика — Задание 23 ЕГЭ по физике №00017589

Идея

Нам сказали две вещи: как идёт процесс ($p$ растёт прямо пропорционально $V$, то есть $p=\alpha V$ — на графике $p(V)$ это прямая из начала координат) и насколько выросла копилка газа ($\Delta U = 6$ Дж). Работа газа — это площадь под графиком $p(V)$. Хитрость в том, что для прямой $p=\alpha V$ и работа, и внутренняя энергия одинаково связаны с произведением $pV$. Свяжем их между собой — и число молей с температурой снова не понадобятся.

Шаг 1. Работа газа

Работа — это площадь под линией процесса на диаграмме $p$–$V$. Поскольку $p = \alpha V$ (наклонная прямая), фигура под ней — трапеция. Её площадь удобно записать так:

$A = \dfrac{p_1 + p_2}{2}\,(V_2 - V_1).$

Подставим $p_1=\alpha V_1$, $p_2=\alpha V_2$ и раскроем — получится красивый результат через произведение $pV$:

$A = \dfrac{\alpha V_1 + \alpha V_2}{2}(V_2 - V_1) = \dfrac{\alpha (V_2^2 - V_1^2)}{2} = \dfrac{p_2 V_2 - p_1 V_1}{2} = \dfrac{\Delta(pV)}{2}.$

Шаг 2. Внутренняя энергия через то же $pV$

Для одноатомного газа $U = \frac{3}{2}\nu R T$, а из уравнения состояния $\nu R T = pV$. Значит копилку можно писать прямо через $pV$: $U = \frac{3}{2}pV$, и её изменение $\Delta U = \frac{3}{2}\Delta(pV)$. Отсюда вытащим само $\Delta(pV)$:

$\Delta(pV) = \dfrac{2}{3}\,\Delta U = \dfrac{2}{3}\cdot 6 = 4\ \text{Дж}.$

Шаг 3. Соединяем

Подставляем в формулу работы из шага 1:

$A = \dfrac{\Delta(pV)}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\ \text{Дж}.$