ID: 00017589
Идеальный одноатомный газ медленно переводят из состояния 1 в состояние 2. Известно, что в процессе 1\to2 давление газа изменялось прямо пропорционально его объёму, а внутренняя энергия газа в этом процессе увеличилась на 6 Дж. Какую работу совершил газ в этом процессе?
Источник: ФИПИ
Нам сказали две вещи: как идёт процесс (p растёт прямо пропорционально V, то есть p=\alpha V — на графике p(V) это прямая из начала координат) и насколько выросла копилка газа (\Delta U = 6 Дж). Работа газа — это площадь под графиком p(V). Хитрость в том, что для прямой p=\alpha V и работа, и внутренняя энергия одинаково связаны с произведением pV. Свяжем их между собой — и число молей с температурой снова не понадобятся.
Работа — это площадь под линией процесса на диаграмме p–V. Поскольку p = \alpha V (наклонная прямая), фигура под ней — трапеция. Её площадь удобно записать так:
A = \dfrac{p_1 + p_2}{2}\,(V_2 - V_1).
Подставим p_1=\alpha V_1, p_2=\alpha V_2 и раскроем — получится красивый результат через произведение pV:
A = \dfrac{\alpha V_1 + \alpha V_2}{2}(V_2 - V_1) = \dfrac{\alpha (V_2^2 - V_1^2)}{2} = \dfrac{p_2 V_2 - p_1 V_1}{2} = \dfrac{\Delta(pV)}{2}.
Для одноатомного газа U = \frac{3}{2}\nu R T, а из уравнения состояния \nu R T = pV. Значит копилку можно писать прямо через pV: U = \frac{3}{2}pV, и её изменение \Delta U = \frac{3}{2}\Delta(pV). Отсюда вытащим само \Delta(pV):
\Delta(pV) = \dfrac{2}{3}\,\Delta U = \dfrac{2}{3}\cdot 6 = 4\ \text{Дж}.
Подставляем в формулу работы из шага 1:
A = \dfrac{\Delta(pV)}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\ \text{Дж}.
Ответ: 2 Дж.
2 Дж