ID: 00017588
Идеальный одноатомный газ, находящийся при температуре $+327\ ^\circ\text{C}$, имеет объём $0{,}083\ \text{м}^3$ и давление $120$ кПа. В результате адиабатического процесса температура этого газа уменьшилась на $50\ ^\circ\text{C}$. Какую работу совершил газ в этом процессе?
Источник: ФИПИ
$T_1 = 327\ ^\circ\text{C} = 600$ К; $V_1 = 0{,}083\ \text{м}^3$; $p_1 = 120$ кПа $= 1{,}2\cdot10^5$ Па; $\Delta T = -50$ К (газ остыл на $50$ градусов).
Найти: $A$ — работу газа.
Ключевое слово — «адиабатический». Это значит, что газ закрыт в идеальной «термос-капсуле»: теплообмена с окружающим миром нет, $Q = 0$. Откуда же газ берёт энергию на работу? Только из своей копилки — внутренней энергии. Газ расширяется и работает «за счёт себя», поэтому остывает. Значит, вся совершённая работа равна тому, на сколько обеднела копилка.
Первый закон термодинамики: $Q = \Delta U + A$. Подставляем $Q=0$ (термос!):
$0 = \Delta U + A \;\Rightarrow\; A = -\Delta U.$
Для одноатомного газа копилка $\Delta U = \frac{3}{2}\nu R\,\Delta T$. Тогда работа:
$A = -\frac{3}{2}\nu R\,\Delta T.$
Число молей нам не дали, но дали начальное состояние газа. Из уравнения Менделеева–Клапейрона $p_1 V_1 = \nu R T_1$ вытащим сразу всё произведение $\nu R$ — отдельно $\nu$ и $R$ нам и не нужны:
$\nu R = \dfrac{p_1 V_1}{T_1} = \dfrac{1{,}2\cdot10^5 \cdot 0{,}083}{600} = \dfrac{9960}{600} = 16{,}6\ \text{Дж/К}.$
$A = -\frac{3}{2}\cdot 16{,}6 \cdot (-50) = \frac{3}{2}\cdot 16{,}6 \cdot 50 = 1245\ \text{Дж}.$
Знак «плюс» — газ действительно совершает работу (расширяется), всё логично: остыл — значит отдал часть копилки на работу.
1245 Дж