Идея

Тут две «остановки» газа. На первой его грели, и нам дали и теплоту Q_1, и работу A_1. Зачем? Чтобы мы вытащили самое полезное — насколько подорожала «копилка» энергии газа (внутренняя энергия) при нагреве на \Delta T = T. А дальше второй процесс — изохорический (объём не меняется), и там вся теплота уходит только в эту самую копилку. Связав две части через одну и ту же копилку, найдём ответ — и заметьте, нам даже не понадобятся ни число молей, ни сама температура T в кельвинах.

Шаг 1. Сколько прибавилось внутренней энергии при нагреве

Первый закон термодинамики — это просто честная бухгалтерия: теплоту, которую газу дали, он либо кладёт в копилку, либо тратит на работу. Значит прибавка копилки = дали минус потратили:

\Delta U_1 = Q_1 - A_1 = 10 - 5 = 5 Дж.

Эта прибавка соответствует нагреву на \Delta T_1 = 2T - T = T.

Шаг 2. Связь копилки с температурой

У одноатомного газа внутренняя энергия зависит только от температуры: U = \frac{3}{2}\nu R \, T. Поэтому при изменении температуры \Delta U = \frac{3}{2}\nu R \, \Delta T. Из шага 1 для нагрева на \Delta T_1 = T получили \frac{3}{2}\nu R \cdot T = 5 Дж. Запомним это число — это «цена» одного T по температуре.

Шаг 3. Второй процесс — охлаждение при постоянном объёме

Теперь газ охлаждают от 2T до \frac{3T}{2}, то есть температура меняется на \Delta T_2 = \frac{3T}{2} - 2T = -\frac{T}{2} (минус — потому что остывает). Изменение копилки:

\Delta U_2 = \frac{3}{2}\nu R \cdot \left(-\frac{T}{2}\right) = -\frac{1}{2}\cdot\Big(\frac{3}{2}\nu R \cdot T\Big) = -\frac{1}{2}\cdot 5 = -2{,}5 Дж.

Шаг 4. Сколько теплоты отдаёт газ

Процесс изохорический: объём не меняется, значит газ не совершает работу (A=0). Тогда вся теплота идёт только в копилку: Q_2 = \Delta U_2 = -2{,}5 Дж. Минус означает «теплоту не получил, а отдал». Газ отдаёт |Q_2| = 2{,}5 Дж.

Ответ: 2,5 Дж.