Волновая Оптика… — Задание 23 ЕГЭ по физике №00017584

Дано

$d = 5$ мкм $= 5\cdot 10^{-6}$ м — период решётки
$F = 25$ см $= 0,25$ м — фокусное расстояние линзы
$\Delta x = 30$ мм $= 0,03$ м — расстояние между максимумами 1-го и 2-го порядков
малые углы: $\sin\alpha \approx \mathrm{tg}\,\alpha \approx \alpha$
Найти: длину волны $\lambda$

Идея

Решётка раскладывает свет на «лучики-направления»: для каждого порядка $m$ свой угол $\alpha_m$. Линза собирает все параллельные лучи одного направления в одну точку своей фокальной плоскости — то есть каждому углу соответствует своё пятно на экране, и чем больше угол, тем дальше пятно от центра. Найдём, на сколько сдвигается пятно при переходе от 1-го порядка ко 2-му, и из этого вытащим $\lambda$.

1) Условие максимумов решётки. Главный максимум порядка $m$ идёт под углом $\alpha_m$, где

$$d\,\sin\alpha_m = m\,\lambda.$$

Почему так: соседние щели дают волны, и чтобы они усилились, их «отставание» по пути ($d\sin\alpha$) должно укладываться целым числом длин волн $m\lambda$.

2) Где пятно на экране. Линза переводит угол в смещение: луч, идущий под углом $\alpha$, фокусируется в точке на расстоянии $x = F\,\mathrm{tg}\,\alpha$ от центра. Углы малые, поэтому $\mathrm{tg}\,\alpha \approx \sin\alpha \approx \alpha$. Тогда

$$x_m = F\,\mathrm{tg}\,\alpha_m \approx F\,\sin\alpha_m = F\cdot \frac{m\lambda}{d}.$$

3) Расстояние между порядками. Берём разность для $m=2$ и $m=1$:

$$\Delta x = x_2 - x_1 = \frac{F\lambda}{d}\,(2 - 1) = \frac{F\lambda}{d}.$$

Удобно: расстояние между соседними порядками одинаково и равно $F\lambda/d$. Отсюда выражаем длину волны:

$$\lambda = \frac{\Delta x \cdot d}{F}.$$

4) Подстановка.

$$\lambda = \frac{0{,}03 \cdot 5\cdot 10^{-6}}{0{,}25} = \frac{1{,}5\cdot 10^{-7}}{0{,}25} = 6\cdot 10^{-7} \text{ м} = 600 \text{ нм}.$$