Задание 22 ЕГЭ по физике №00017582

Дано

$h = 70$ м — высота взрыва (высшая точка)
$v_1 = v_2 = 10$ м/с — скорости 1-го и 2-го осколков сразу после взрыва
осколки одинаковые: массы равны $m$
1-й летит вертикально вниз, 2-й — горизонтально
$g = 10$ м/с² ; сопротивление воздуха не учитываем
Найти: модуль скорости 3-го осколка в момент падения $v$

Идея

Решаем в два шага. Сначала находим скорость 3-го осколка сразу после взрыва (тут работает закон сохранения импульса). Потом «роняем» его с высоты 70 м и находим скорость у земли (тут работает закон сохранения энергии).

Шаг 1. Импульс в момент взрыва. В высшей точке снаряд на мгновение остановился — его скорость ноль, значит и импульс всей системы перед взрывом равен нулю. Взрыв — это внутренние силы (порох толкает осколки друг от друга), а внутренние силы не меняют суммарный импульс. Поэтому сразу после взрыва сумма импульсов трёх осколков тоже ноль:

$$\vec{p_1} + \vec{p_2} + \vec{p_3} = 0 \;\Rightarrow\; \vec{p_3} = -(\vec{p_1} + \vec{p_2}).$$

Возьмём оси: $x$ — горизонтально (куда летит 2-й осколок), $y$ — вертикально вверх. Массы одинаковы, поэтому работаем сразу со скоростями (масса сократится).

1-й осколок вниз: $\vec{v_1} = (0;\,-10)$. 2-й горизонтально: $\vec{v_2} = (10;\,0)$.

Тогда скорость 3-го осколка сразу после взрыва:

$$\vec{v_3} = -(\vec{v_1} + \vec{v_2}) = -(10;\,-10) = (-10;\,+10).$$

То есть 3-й осколок летит вверх и в сторону. Его модуль скорости сразу после взрыва:

$$v_3 = \sqrt{(-10)^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14{,}1 \text{ м/с}.$$

Идея — шаг 2

Закон сохранения энергии для 3-го осколка. После взрыва на осколок действует только сила тяжести (воздух не мешает). Неважно, по какой кривой он летит — важно, что он стартовал на высоте 70 м и пришёл на землю, то есть опустился ровно на $h$. Полная механическая энергия сохраняется. Запишем «энергия в начале = энергия в конце», взяв уровень земли за ноль высоты:

$$\frac{m v_3^2}{2} + m g h = \frac{m v^2}{2}.$$

Масса сокращается, выражаем скорость у земли:

$$v^2 = v_3^2 + 2 g h.$$

Здесь важная тонкость: в $v_3^2$ уже «зашиты» обе составляющие скорости (и вертикальная, и горизонтальная), $v_3^2 = 200$ м²/с². Подставляем:

$$v^2 = 200 + 2\cdot 10 \cdot 70 = 200 + 1400 = 1600 \text{ м}^2/\text{с}^2.$$

$$v = \sqrt{1600} = 40 \text{ м/с}.$$