Кинематика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00017579

Дано

$V_1 = 126$ км/ч $= 35$ м/с — скорость первого гонщика (постоянная);
$\Delta t = 20$ с — стоянка второго в середине участка;
$a = 0{,}3g = 0{,}3\cdot 10 = 3$ м/с$^2$ — модуль ускорения при торможении и разгоне;
Найти: $V_2$ — скорость второго при обгоне (она же его начальная и максимальная).

Идея

Оба гонщика стартуют рядом в $A$ и снова оказываются рядом в $B$ — значит на весь участок $A\!\to\!B$ они тратят одинаковое время. Первый едет ровно, второй сначала тормозит до полной остановки ровно в середине, стоит $\Delta t$, потом разгоняется до своей же скорости к точке $B$. Разгон — зеркало торможения, поэтому обе половины участка проходятся одинаково.

1. Половина участка через торможение. Тормозной путь от $V_2$ до нуля равен $\dfrac{V_2^2}{2a}$, и это половина участка:

$$\frac{L}{2} = \frac{V_2^2}{2a} \;\Rightarrow\; L = \frac{V_2^2}{a}.$$

2. Время второго на весь участок. Время торможения $\dfrac{V_2}{a}$, столько же на разгон, плюс стоянка $\Delta t$:

$$T = \frac{2V_2}{a} + \Delta t.$$

3. Первый прошёл тот же путь за то же время с постоянной скоростью: $L = V_1\,T$. Подставляем:

$$\frac{V_2^2}{a} = V_1\left(\frac{2V_2}{a} + \Delta t\right) \;\Rightarrow\; V_2^2 - 2V_1 V_2 - V_1\,a\,\Delta t = 0.$$

Подстановка

$$V_2^2 - 2\cdot 35\cdot V_2 - 35\cdot 3\cdot 20 = 0 \;\Rightarrow\; V_2^2 - 70\,V_2 - 2100 = 0.$$

$$V_2 = \frac{70 + \sqrt{70^2 + 4\cdot 2100}}{2} = \frac{70 + \sqrt{4900 + 8400}}{2} = \frac{70 + \sqrt{13300}}{2} = \frac{70 + 115{,}3}{2} \approx 92{,}7\ \text{м/с}.$$

Переведём в км/ч: $92{,}7\cdot 3{,}6 \approx 333{,}5$ км/ч.