ID: 00017579
Во время автогонок на скоростной трассе один гонщик ехал по горизонтальному прямолинейному участку AB с постоянной скоростью V_1 = 126 км/ч. Второй гонщик, ехавший с постоянной скоростью на более мощном «болиде», обогнав первого в точке A, сразу же начал тормозить и остановился в середине участка AB на время \Delta t = 20 с. Потом второй гонщик ускорился и в точке B вновь обогнал первого гонщика. При этом в момент обгона он как раз достиг максимальной скорости, равной своей начальной. Считая, что и при торможении, и при последующем разгоне второй гонщик движется с одинаковым максимально возможным ускорением a = 0{,}3g, найдите его скорость V_2 при первом и втором обгоне соперника.
Источник: ФИПИ
V_1 = 126 км/ч = 35 м/с — скорость первого гонщика (постоянная);
\Delta t = 20 с — стоянка второго в середине участка;
a = 0{,}3g = 0{,}3\cdot 10 = 3 м/с^2 — модуль ускорения при торможении и разгоне;
Найти: V_2 — скорость второго при обгоне (она же его начальная и максимальная).
Оба гонщика стартуют рядом в A и снова оказываются рядом в B — значит на весь участок A\!\to\!B они тратят одинаковое время. Первый едет ровно, второй сначала тормозит до полной остановки ровно в середине, стоит \Delta t, потом разгоняется до своей же скорости к точке B. Разгон — зеркало торможения, поэтому обе половины участка проходятся одинаково.
1. Половина участка через торможение. Тормозной путь от V_2 до нуля равен \dfrac{V_2^2}{2a}, и это половина участка:
\frac{L}{2} = \frac{V_2^2}{2a} \;\Rightarrow\; L = \frac{V_2^2}{a}.
2. Время второго на весь участок. Время торможения \dfrac{V_2}{a}, столько же на разгон, плюс стоянка \Delta t:
T = \frac{2V_2}{a} + \Delta t.
3. Первый прошёл тот же путь за то же время с постоянной скоростью: L = V_1\,T. Подставляем:
\frac{V_2^2}{a} = V_1\left(\frac{2V_2}{a} + \Delta t\right) \;\Rightarrow\; V_2^2 - 2V_1 V_2 - V_1\,a\,\Delta t = 0.
V_2^2 - 2\cdot 35\cdot V_2 - 35\cdot 3\cdot 20 = 0 \;\Rightarrow\; V_2^2 - 70\,V_2 - 2100 = 0.
V_2 = \frac{70 + \sqrt{70^2 + 4\cdot 2100}}{2} = \frac{70 + \sqrt{4900 + 8400}}{2} = \frac{70 + \sqrt{13300}}{2} = \frac{70 + 115{,}3}{2} \approx 92{,}7\ \text{м/с}.
Переведём в км/ч: 92{,}7\cdot 3{,}6 \approx 333{,}5 км/ч.
Ответ: V2 ≈ 92,7 м/с ≈ 333,5 км/ч.
V2 ≈ 333,5 км/ч (≈ 92,7 м/с)