ID: 00017578
Во время автогонок на скоростной трассе один гонщик ехал по горизонтальному прямолинейному участку AB с постоянной скоростью V_1 = 144 км/ч. Второй гонщик, ехавший с постоянной скоростью на более мощном «болиде», обогнав первого в точке A, сразу же начал тормозить и остановился в середине участка AB на время t = 15 с. Потом второй гонщик ускорился и в точке B вновь обогнал первого гонщика. При этом в момент обгона он как раз достиг максимальной скорости, равной своей начальной. Считая, что и при торможении, и при последующем разгоне второй гонщик движется с одинаковым максимально возможным ускорением a = 0{,}3g, найдите продолжительность его торможения.
Источник: ФИПИ
V_1 = 144 км/ч = 40 м/с — скорость первого гонщика (постоянная);
t = 15 с — стоянка второго в середине участка;
a = 0{,}3g = 0{,}3\cdot 9{,}8 = 2{,}94 м/с^2 — модуль ускорения при торможении и при разгоне;
V_2 — начальная (она же максимальная) скорость второго.
Найти: t_{торм} — продолжительность торможения.
Оба стартуют вместе в точке A и снова оказываются рядом в точке B — значит на весь путь A\!\to\!B они тратят одно и то же время. Первый едет ровно, второй «дёргано»: тормозит до нуля как раз в середине, стоит, потом разгоняется обратно до своей же скорости к точке B. Картина симметрична: разгон — это «торможение наоборот», поэтому первая половина A\!\to\!середина и вторая половина середина\!\to\!B проходятся одинаково.
1. Половина участка через торможение. Второй тормозит от V_2 до 0 с ускорением a. Тормозной путь (как при разгоне от нуля, только наоборот) равен \dfrac{V_2^2}{2a}, и это ровно половина участка:
\frac{L}{2} = \frac{V_2^2}{2a} \;\Rightarrow\; L = \frac{V_2^2}{a}.
То же время на разгон во второй половине, поэтому время торможения = времени разгона.
2. Время торможения. Скорость падает от V_2 до нуля с ускорением a, значит
t_{торм} = \frac{V_2}{a}.
Столько же длится разгон. Общее время второго на путь A\!\to\!B:
T = t_{торм} + t + t_{разг} = \frac{2V_2}{a} + t.
3. Условие «встретились в A и в B». Первый прошёл тот же путь L за то же время T с постоянной скоростью: L = V_1\,T. Подставим L = V_2^2/a и T:
\frac{V_2^2}{a} = V_1\left(\frac{2V_2}{a} + t\right).
Умножим на a и приведём к квадратному уравнению относительно V_2:
V_2^2 - 2V_1 V_2 - V_1\,a\,t = 0.
V_2^2 - 2\cdot 40\cdot V_2 - 40\cdot 2{,}94\cdot 15 = 0 \;\Rightarrow\; V_2^2 - 80\,V_2 - 1764 = 0.
V_2 = \frac{80 + \sqrt{80^2 + 4\cdot 1764}}{2} = \frac{80 + \sqrt{6400 + 7056}}{2} = \frac{80 + \sqrt{13456}}{2} = \frac{80 + 116}{2} = 98\ \text{м/с}.
(берём положительный корень). Тогда продолжительность торможения:
t_{торм} = \frac{V_2}{a} = \frac{98}{2{,}94} \approx 33{,}3\ \text{с} \approx 33\ \text{с}.
Ответ: tторм ≈ 33 с.
tторм ≈ 33 с