ID: 00017578
Во время автогонок на скоростной трассе один гонщик ехал по горизонтальному прямолинейному участку $AB$ с постоянной скоростью $V_1 = 144$ км/ч. Второй гонщик, ехавший с постоянной скоростью на более мощном «болиде», обогнав первого в точке $A$, сразу же начал тормозить и остановился в середине участка $AB$ на время $t = 15$ с. Потом второй гонщик ускорился и в точке $B$ вновь обогнал первого гонщика. При этом в момент обгона он как раз достиг максимальной скорости, равной своей начальной. Считая, что и при торможении, и при последующем разгоне второй гонщик движется с одинаковым максимально возможным ускорением $a = 0{,}3g$, найдите продолжительность его торможения.
Источник: ФИПИ
$V_1 = 144$ км/ч $= 40$ м/с — скорость первого гонщика (постоянная);
$t = 15$ с — стоянка второго в середине участка;
$a = 0{,}3g = 0{,}3\cdot 9{,}8 = 2{,}94$ м/с$^2$ — модуль ускорения при торможении и при разгоне;
$V_2$ — начальная (она же максимальная) скорость второго.
Найти: $t_{торм}$ — продолжительность торможения.
Оба стартуют вместе в точке $A$ и снова оказываются рядом в точке $B$ — значит на весь путь $A\!\to\!B$ они тратят одно и то же время. Первый едет ровно, второй «дёргано»: тормозит до нуля как раз в середине, стоит, потом разгоняется обратно до своей же скорости к точке $B$. Картина симметрична: разгон — это «торможение наоборот», поэтому первая половина $A\!\to\!$середина и вторая половина середина$\!\to\!B$ проходятся одинаково.
1. Половина участка через торможение. Второй тормозит от $V_2$ до $0$ с ускорением $a$. Тормозной путь (как при разгоне от нуля, только наоборот) равен $\dfrac{V_2^2}{2a}$, и это ровно половина участка:
$$\frac{L}{2} = \frac{V_2^2}{2a} \;\Rightarrow\; L = \frac{V_2^2}{a}.$$
То же время на разгон во второй половине, поэтому время торможения = времени разгона.
2. Время торможения. Скорость падает от $V_2$ до нуля с ускорением $a$, значит
$$t_{торм} = \frac{V_2}{a}.$$
Столько же длится разгон. Общее время второго на путь $A\!\to\!B$:
$$T = t_{торм} + t + t_{разг} = \frac{2V_2}{a} + t.$$
3. Условие «встретились в $A$ и в $B$». Первый прошёл тот же путь $L$ за то же время $T$ с постоянной скоростью: $L = V_1\,T$. Подставим $L = V_2^2/a$ и $T$:
$$\frac{V_2^2}{a} = V_1\left(\frac{2V_2}{a} + t\right).$$
Умножим на $a$ и приведём к квадратному уравнению относительно $V_2$:
$$V_2^2 - 2V_1 V_2 - V_1\,a\,t = 0.$$
$$V_2^2 - 2\cdot 40\cdot V_2 - 40\cdot 2{,}94\cdot 15 = 0 \;\Rightarrow\; V_2^2 - 80\,V_2 - 1764 = 0.$$
$$V_2 = \frac{80 + \sqrt{80^2 + 4\cdot 1764}}{2} = \frac{80 + \sqrt{6400 + 7056}}{2} = \frac{80 + \sqrt{13456}}{2} = \frac{80 + 116}{2} = 98\ \text{м/с}.$$
(берём положительный корень). Тогда продолжительность торможения:
$$t_{торм} = \frac{V_2}{a} = \frac{98}{2{,}94} \approx 33{,}3\ \text{с} \approx 33\ \text{с}.$$
tторм ≈ 33 с