ID: 00017577
Школьник сел в электробус, чтобы доехать до школы. На улице накрапывал дождик, но на вертикальные лобовые стёкла кабины водителя капли во время остановки не попадали. Когда электробус тронулся и начал ускоряться, на лобовые стёкла кабины капли дождя стали попадать, и тем чаще, чем выше становилась скорость электробуса, что заставляло водителя периодически включать «дворники». До какой скорости V разогнался электробус за время t = 30 с при равноускоренном движении от остановки, если за время разгона на лобовые стёкла попало N = 62\,500 капель дождя, площадь стёкол равна S = 1{,}5 м^2, а концентрация капель в воздухе составляла n = 250 м^{-3}? Можно считать, что до столкновения со стеклом кабины скорость капель остаётся такой же, как и вдалеке от электробуса.
Источник: ФИПИ
t = 30 с — время разгона;
N = 62\,500 — сколько капель попало на стекло;
S = 1{,}5 м^2 — площадь лобовых стёкол;
n = 250 м^{-3} — концентрация капель (сколько капель в каждом кубометре воздуха);
движение равноускоренное от нуля.
Найти: V — конечную скорость.
Стёкла вертикальные, значит из-за собственного (вертикального) падения капли по ним не стекают — на остановке стекло сухое. Капли начинают попадать, только когда сам автобус едет вперёд и «налетает» на висящие в воздухе капли. Представь: стекло — это сачок площадью S, который движется сквозь «облако» капель. За время поездки сачок «прометает» в воздухе трубу: её сечение — стекло S, а длина — путь L, который автобус прошёл относительно воздуха. Объём этой трубы V_{объём} = S\cdot L. В каждом кубометре сидит n капель, поэтому всего соберётся капель:
N = n\cdot S\cdot L.
Почему путь, а не скорость в этой формуле? Потому что капли «накапливаются»: чем длиннее прометённая труба, тем больше капель в неё попало. А длина трубы — это и есть пройденный путь.
1. Найдём путь из формулы для числа капель:
L = \frac{N}{n\,S}.
2. Свяжем путь со скоростью. Разгон равноускоренный от нуля до V. Средняя скорость при равноускоренном разгоне от нуля — это полусумма начальной и конечной, то есть \dfrac{0 + V}{2} = \dfrac{V}{2}. Путь = средняя скорость \times время:
L = \frac{V}{2}\,t.
3. Приравниваем два выражения для L и выражаем V:
\frac{V}{2}\,t = \frac{N}{n\,S} \;\Rightarrow\; V = \frac{2N}{n\,S\,t}.
V = \frac{2\cdot 62\,500}{250\cdot 1{,}5\cdot 30} = \frac{125\,000}{11\,250} \approx 11{,}1\ \text{м/с}.
Переведём в привычные км/ч: 11{,}1\cdot 3{,}6 = 40 км/ч.
Ответ: V ≈ 11,1 м/с = 40 км/ч.
V = 40 км/ч (≈ 11,1 м/с)