Колебания — Задание 22 ЕГЭ по физике №00017576

Дано

$l = 0{,}6$ м — длина нити (и начальная длина пружины);
$m = 0{,}012$ кг — масса шарика;
$k = 120$ Н/м — жёсткость пружины;
$\Delta l = 0{,}15$ м — растяжение пружины;
$g = 9{,}8$ м/с$^2$.
Найти: $\nu$ — частоту колебаний.

Идея

Шарик висит на оси «крючок — основание», и держат его две натянутые упругие связи вдоль этой вертикали: нить тянет вверх, растянутая пружина — вниз. Толкнём шарик вбок на $x$ — каждая связь тянет вдоль себя обратно к оси, а вбок «работает» лишь маленькая горизонтальная доля силы, пропорциональная $x/l$. Сумма этих долей и есть возвращающая сила гармонических колебаний.

1. Натяжение нити в покое. Пружина по закону Гука тянет шарик вниз силой $F_{пр} = k\,\Delta l$. Шарик покоится, значит по второму закону Ньютона нить уравновешивает вес и пружину:

$$T = mg + k\,\Delta l.$$

2. Сдвиг вбок на $x$. Горизонтальная возвращающая доля почти вертикальной силы равна силе, умноженной на $x/l$. Нить даёт $T\cdot\dfrac{x}{l}$, пружина — $k\,\Delta l\cdot\dfrac{x}{l}$. Почему обе возвращают? Натянутая нить тянет к точке подвеса, растянутая пружина — к своему закреплённому концу; обе эти точки на оси, поэтому обе тянут шарик к оси.

3. Уравнение движения ($m\ddot{x}=-F_{возвр}$):

$$m\ddot{x} = -\bigl(mg + 2k\,\Delta l\bigr)\frac{x}{l} \;\Rightarrow\; \omega^2 = \frac{mg + 2k\,\Delta l}{m\,l}.$$

Подстановка

$$mg + 2k\,\Delta l = 0{,}012\cdot 9{,}8 + 2\cdot 120\cdot 0{,}15 = 0{,}1176 + 36 = 36{,}12\ \text{Н}.$$

$$\omega^2 = \frac{36{,}12}{0{,}012\cdot 0{,}6} = \frac{36{,}12}{0{,}0072} = 5016{,}7\ \text{с}^{-2}, \qquad \omega = 70{,}8\ \text{рад/с}.$$

$$\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{70{,}8}{2\pi} \approx 11{,}3\ \text{Гц}.$$