ID: 00017575
На невесомой нерастяжимой нити длиной $l = 50$ см, привязанной наверху к неподвижному крючку, подвешен маленький шарик массой $m = 10$ г. Снизу к шарику прикреплена лёгкая пружина жёсткостью $k = 100$ Н/м, растянутая на $\Delta l = 10$ см до длины, равной длине нити $l$, причём нижний конец пружины находится точно под крючком и заделан в неподвижном основании. Шарик оттягивают в горизонтальном направлении на малое расстояние $x \ll l$ и отпускают. Найдите частоту $\nu$ возникающих после этого колебаний, пренебрегая потерями на трение.
Источник: ФИПИ
$l = 0{,}5$ м — длина нити (и начальная длина пружины);
$m = 0{,}01$ кг — масса шарика;
$k = 100$ Н/м — жёсткость пружины;
$\Delta l = 0{,}1$ м — на столько растянута пружина;
$g = 9{,}8$ м/с$^2$.
Найти: $\nu$ — частоту колебаний.
Представь, что шарик держат сразу две «резинки», натянутые вдоль одной вертикали: сверху нить (она тянет вверх), снизу пружина (она растянута и тянет вниз). Шарик висит на оси, проходящей через крючок и основание. Чуть толкнём шарик вбок на $x$ — и обе натянутые «верёвки» начнут возвращать его к оси: каждая тянет вдоль себя, а вбок «смотрит» только маленькая горизонтальная часть этой силы. Чем сильнее натянуто — тем сильнее возвращает. Это и есть возвращающая сила гармонических колебаний.
1. Сначала найдём силы натяжения в положении равновесия (шарик висит ровно). Пружина растянута на $\Delta l$, поэтому по закону Гука она тянет шарик вниз с силой $F_{пр} = k\,\Delta l$. Нить тянет вверх с силой $T$. По второму закону Ньютона в вертикали (шарик покоится) сумма сил равна нулю: нить уравновешивает и вес, и пружину:
$$T = mg + k\,\Delta l.$$
2. Теперь сместим шарик вбок на малое $x$. Нить отклонилась от вертикали, и её натяжение даёт горизонтальную (возвращающую) составляющую. Для малого угла горизонтальная доля силы — это сила, умноженная на $x/l$ (отношение «вбок» к «длине»). Нить возвращает шарик к оси с силой $T\cdot\dfrac{x}{l}$.
3. Пружина снизу тоже почти вертикальна (её длина тоже $l$), она растянута и тоже стремится подтянуть шарик обратно к оси. Её горизонтальная возвращающая доля — $F_{пр}\cdot\dfrac{x}{l} = k\,\Delta l\cdot\dfrac{x}{l}$. Почему обе силы возвращают, а не одна толкает? Потому что обе «верёвки» натянуты (растянуты): натянутая нить всегда тянет вдоль себя к точке подвеса, а растянутая пружина — к своему закреплённому концу; обе эти точки лежат на оси, значит обе тянут шарик к оси.
4. Складываем возвращающие силы (вторая часть закона Ньютона, $ma = -F_{возвр}$):
$$m\ddot{x} = -\left(T + k\,\Delta l\right)\frac{x}{l} = -\bigl(mg + k\,\Delta l + k\,\Delta l\bigr)\frac{x}{l} = -\frac{mg + 2k\,\Delta l}{l}\,x.$$
Получили уравнение вида $\ddot{x} = -\omega^2 x$, где
$$\omega^2 = \frac{mg + 2k\,\Delta l}{m\,l}.$$
$$mg + 2k\,\Delta l = 0{,}01\cdot 9{,}8 + 2\cdot 100\cdot 0{,}1 = 0{,}098 + 20 = 20{,}098\ \text{Н}.$$
$$\omega^2 = \frac{20{,}098}{0{,}01\cdot 0{,}5} = \frac{20{,}098}{0{,}005} = 4019{,}6\ \text{с}^{-2}, \qquad \omega = 63{,}4\ \text{рад/с}.$$
Частота связана с $\omega$ как $\nu = \dfrac{\omega}{2\pi}$:
$$\nu = \frac{63{,}4}{2\pi} \approx 10{,}1\ \text{Гц}.$$
ν ≈ 10,1 Гц