Дано

l = 0{,}5 м — длина нити (и начальная длина пружины);
m = 0{,}01 кг — масса шарика;
k = 100 Н/м — жёсткость пружины;
\Delta l = 0{,}1 м — на столько растянута пружина;
g = 9{,}8 м/с^2.
Найти: \nu — частоту колебаний.

Идея

Представь, что шарик держат сразу две «резинки», натянутые вдоль одной вертикали: сверху нить (она тянет вверх), снизу пружина (она растянута и тянет вниз). Шарик висит на оси, проходящей через крючок и основание. Чуть толкнём шарик вбок на x — и обе натянутые «верёвки» начнут возвращать его к оси: каждая тянет вдоль себя, а вбок «смотрит» только маленькая горизонтальная часть этой силы. Чем сильнее натянуто — тем сильнее возвращает. Это и есть возвращающая сила гармонических колебаний.

1. Сначала найдём силы натяжения в положении равновесия (шарик висит ровно). Пружина растянута на \Delta l, поэтому по закону Гука она тянет шарик вниз с силой F_{пр} = k\,\Delta l. Нить тянет вверх с силой T. По второму закону Ньютона в вертикали (шарик покоится) сумма сил равна нулю: нить уравновешивает и вес, и пружину:

T = mg + k\,\Delta l.

2. Теперь сместим шарик вбок на малое x. Нить отклонилась от вертикали, и её натяжение даёт горизонтальную (возвращающую) составляющую. Для малого угла горизонтальная доля силы — это сила, умноженная на x/l (отношение «вбок» к «длине»). Нить возвращает шарик к оси с силой T\cdot\dfrac{x}{l}.

3. Пружина снизу тоже почти вертикальна (её длина тоже l), она растянута и тоже стремится подтянуть шарик обратно к оси. Её горизонтальная возвращающая доля — F_{пр}\cdot\dfrac{x}{l} = k\,\Delta l\cdot\dfrac{x}{l}. Почему обе силы возвращают, а не одна толкает? Потому что обе «верёвки» натянуты (растянуты): натянутая нить всегда тянет вдоль себя к точке подвеса, а растянутая пружина — к своему закреплённому концу; обе эти точки лежат на оси, значит обе тянут шарик к оси.

4. Складываем возвращающие силы (вторая часть закона Ньютона, ma = -F_{возвр}):

m\ddot{x} = -\left(T + k\,\Delta l\right)\frac{x}{l} = -\bigl(mg + k\,\Delta l + k\,\Delta l\bigr)\frac{x}{l} = -\frac{mg + 2k\,\Delta l}{l}\,x.

Получили уравнение вида \ddot{x} = -\omega^2 x, где

\omega^2 = \frac{mg + 2k\,\Delta l}{m\,l}.

Подстановка

mg + 2k\,\Delta l = 0{,}01\cdot 9{,}8 + 2\cdot 100\cdot 0{,}1 = 0{,}098 + 20 = 20{,}098\ \text{Н}.

\omega^2 = \frac{20{,}098}{0{,}01\cdot 0{,}5} = \frac{20{,}098}{0{,}005} = 4019{,}6\ \text{с}^{-2}, \qquad \omega = 63{,}4\ \text{рад/с}.

Частота связана с \omega как \nu = \dfrac{\omega}{2\pi}:

\nu = \frac{63{,}4}{2\pi} \approx 10{,}1\ \text{Гц}.

Ответ: ν ≈ 10,1 Гц.