ID: 00017574
В велотренажёрах для регулировки физической нагрузки тренирующихся на них спортсменов в настоящее время часто используются электродинамические тормозящие устройства, позволяющие плавно регулировать усилия, необходимые для вращения педалей с определённой скоростью. Вращение от педалей передаётся на массивный токопроводящий диск, находящийся между двумя сильными неподвижными магнитами, расстояние от которых до диска можно регулировать. Взаимодействие возникающих в диске индукционных токов с магнитами тормозит вращение диска, а следовательно, и педалей, заставляя прикладывать к ним регулируемые по величине силы.
Пусть спортсмен крутит педали, находящиеся на расстоянии $R=20$ см от их оси вращения, с частотой $\nu=15$ оборотов в минуту, прикладывая к каждой из педалей в направлении её движения постоянную по модулю вращающую силу $F=50$ Н. На сколько градусов нагреется алюминиевый диск массой $m=5$ кг за время $t=30$ минут работы в таком режиме? Считайте, что вся работа спортсмена расходуется только на равномерный разогрев диска.
Источник: ФИПИ
$R=20\ \text{см}=0{,}2\ \text{м}$ — расстояние от педали до оси;
$\nu=15\ \text{об/мин}=0{,}25\ \text{об/с}$ — частота вращения;
$F=50\ \text{Н}$ — сила на каждой из двух педалей;
$m=5\ \text{кг}$ — масса алюминиевого диска;
$t=30\ \text{мин}=1800\ \text{с}$;
$c=900\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot{}^\circ\text{C}}$ — удельная теплоёмкость алюминия (табличная).
Найти: $\Delta t-?$
Здесь не нужно разбираться в тонкостях индукционного торможения — по условию вся работа спортсмена идёт на нагрев диска. Поэтому план простой: найдём, какую работу спортсмен совершает за полчаса, приравняем её к теплоте, пошедшей на нагрев, и из уравнения теплового баланса найдём прирост температуры.
Каждая педаль движется по окружности радиуса $R$. За один оборот она проходит длину окружности $2\pi R$, а оборотов в секунду — $\nu$ штук. Значит, линейная скорость:
$$v=2\pi R\nu.$$
Сила приложена вдоль движения педали, поэтому мощность на одной педали $P_1=Fv$. Педалей две (на велотренажёре крутят обе ноги), значит полная мощность:
$$P=2Fv=2F\cdot 2\pi R\nu=4\pi R\nu F.$$
За время $t$ совершается работа:
$$A=Pt=4\pi R\nu F\,t.$$
Вся работа превращается в теплоту, нагревающую диск: $A=Q=cm\,\Delta t$. Отсюда
$$\Delta t=\dfrac{A}{cm}=\dfrac{4\pi R\nu F\,t}{cm}.$$
$$v=2\pi\cdot0{,}2\cdot0{,}25\approx0{,}314\ \text{м/с};$$
$$P=2\cdot50\cdot0{,}314\approx31{,}4\ \text{Вт};$$
$$A=31{,}4\cdot1800\approx5{,}65\cdot10^{4}\ \text{Дж};$$
$$\Delta t=\dfrac{5{,}65\cdot10^{4}}{900\cdot5}\approx12{,}6\,^\circ\text{C}.$$
$$\boxed{\Delta t\approx12{,}6\,^\circ\text{C}.}$$
$\Delta t \approx 12{,}6\,^\circ\text{C}$ (диск нагреется примерно на $12{,}6$ градуса).