ID: 00017574
В велотренажёрах для регулировки физической нагрузки тренирующихся на них спортсменов в настоящее время часто используются электродинамические тормозящие устройства, позволяющие плавно регулировать усилия, необходимые для вращения педалей с определённой скоростью. Вращение от педалей передаётся на массивный токопроводящий диск, находящийся между двумя сильными неподвижными магнитами, расстояние от которых до диска можно регулировать. Взаимодействие возникающих в диске индукционных токов с магнитами тормозит вращение диска, а следовательно, и педалей, заставляя прикладывать к ним регулируемые по величине силы.
Пусть спортсмен крутит педали, находящиеся на расстоянии R=20 см от их оси вращения, с частотой \nu=15 оборотов в минуту, прикладывая к каждой из педалей в направлении её движения постоянную по модулю вращающую силу F=50 Н. На сколько градусов нагреется алюминиевый диск массой m=5 кг за время t=30 минут работы в таком режиме? Считайте, что вся работа спортсмена расходуется только на равномерный разогрев диска.
Источник: ФИПИ
R=20\ \text{см}=0{,}2\ \text{м} — расстояние от педали до оси;
\nu=15\ \text{об/мин}=0{,}25\ \text{об/с} — частота вращения;
F=50\ \text{Н} — сила на каждой из двух педалей;
m=5\ \text{кг} — масса алюминиевого диска;
t=30\ \text{мин}=1800\ \text{с};
c=900\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot{}^\circ\text{C}} — удельная теплоёмкость алюминия (табличная).
Найти: \Delta t-?
Здесь не нужно разбираться в тонкостях индукционного торможения — по условию вся работа спортсмена идёт на нагрев диска. Поэтому план простой: найдём, какую работу спортсмен совершает за полчаса, приравняем её к теплоте, пошедшей на нагрев, и из уравнения теплового баланса найдём прирост температуры.
Каждая педаль движется по окружности радиуса R. За один оборот она проходит длину окружности 2\pi R, а оборотов в секунду — \nu штук. Значит, линейная скорость:
v=2\pi R\nu.
Сила приложена вдоль движения педали, поэтому мощность на одной педали P_1=Fv. Педалей две (на велотренажёре крутят обе ноги), значит полная мощность:
P=2Fv=2F\cdot 2\pi R\nu=4\pi R\nu F.
За время t совершается работа:
A=Pt=4\pi R\nu F\,t.
Вся работа превращается в теплоту, нагревающую диск: A=Q=cm\,\Delta t. Отсюда
\Delta t=\dfrac{A}{cm}=\dfrac{4\pi R\nu F\,t}{cm}.
v=2\pi\cdot0{,}2\cdot0{,}25\approx0{,}314\ \text{м/с};
P=2\cdot50\cdot0{,}314\approx31{,}4\ \text{Вт};
A=31{,}4\cdot1800\approx5{,}65\cdot10^{4}\ \text{Дж};
\Delta t=\dfrac{5{,}65\cdot10^{4}}{900\cdot5}\approx12{,}6\,^\circ\text{C}.
\boxed{\Delta t\approx12{,}6\,^\circ\text{C}.}
\Delta t \approx 12{,}6\,^\circ\text{C} (диск нагреется примерно на 12{,}6 градуса).