ID: 00017558
На рисунке изображён процесс, происходящий с 1 моль гелия. Минимальное давление газа $p_1 = 100$ кПа, минимальный объём $V_1 = 10$ л, а максимальный $V_2 = 30$ л. Какую работу совершает гелий при переходе из состояния 1 в состояние 2? Ответ выразите в кДж.
Источник: ФИПИ
$\nu = 1$ моль (гелий)
$p_1 = 100$ кПа $= 10^5$ Па
$V_1 = 10$ л $= 0{,}01$ м³
$V_2 = 30$ л $= 0{,}03$ м³
Найти: $A$ — работу газа
На $pV$-диаграмме процесс — это прямая, идущая из точки 1 в точку 2. Самое важное: продолжи эту прямую штриховой линией обратно — и увидишь, что она упирается прямо в начало координат O. Значит давление и объём растут «рука об руку» по прямому закону: $p = \alpha V$ (во сколько раз вырос объём, во столько же вырос и давление). Это не изопроцесс, поэтому ни «изобары», ни «изотермы» тут нет — работаем напрямую с площадью.
Работа газа — это всегда площадь фигуры под графиком процесса на $pV$-диаграмме. Почему именно площадь? Элементарная работа $\delta A = p\,\Delta V$ — это «давление умножить на сдвиг по объёму», то есть узкий столбик под графиком. Сложив все такие столбики от $V_1$ до $V_2$, получаем всю площадь под линией. Здесь под наклонной прямой лежит прямоугольная трапеция.
1) Найдём давление в точке 2. Раз прямая проходит через начало координат, то $\dfrac{p_1}{V_1} = \dfrac{p_2}{V_2}$, откуда $$p_2 = p_1\cdot\dfrac{V_2}{V_1} = 100\cdot\dfrac{30}{10} = 300\text{ кПа}.$$
2) Площадь трапеции под прямой — это полусумма «оснований» (давлений $p_1$ и $p_2$) на «высоту» (изменение объёма $V_2 - V_1$): $$A = \dfrac{p_1 + p_2}{2}\,(V_2 - V_1).$$
3) Подставляем числа (всё в СИ): $$A = \dfrac{10^5 + 3\cdot10^5}{2}\cdot(0{,}03 - 0{,}01) = 2\cdot10^5\cdot0{,}02 = 4000\text{ Дж}.$$
Газ расширяется (объём растёт), поэтому работа положительная — газ сам толкает поршень наружу.