ID: 00017552
С идеальным газом происходит циклический процесс, диаграмма $p$–$V$ которого представлена на рисунке. Наинизшая температура, достигаемая газом в этом процессе, составляет $300\ \text{К}$. Определите количество вещества этого газа. Ответ укажите в молях с точностью до двух знаков после запятой.
Источник: ФИПИ
$T_{\min} = 300\ \text{К}$; из рисунка цикл — это «квадрат» со сторонами по осям: давление меняется от $p_1 = 100\ \text{кПа} = 1{,}0\cdot10^{5}\ \text{Па}$ до $200\ \text{кПа}$, объём — от $V_1 = 3\ \text{л} = 3\cdot10^{-3}\ \text{м}^3$ до $4\ \text{л}$.
Найти: $\nu$.
Главное — сообразить, в какой точке цикла газу холоднее всего. Для идеального газа $pV=\nu RT$, то есть температура «идёт за» произведением $pV$: чем меньше площадь прямоугольника $p\cdot V$ под точкой, тем ниже температура. У квадрата на диаграмме четыре угла, и нам нужен тот, где и давление, и объём минимальны одновременно — это левый нижний угол.
Посчитаем $pV$ во всех углах (в кПа·л): $3\cdot100=300$, $4\cdot100=400$, $3\cdot200=600$, $4\cdot200=800$. Самое маленькое — $300$, это угол с $p_1=100\ \text{кПа}$ и $V_1=3\ \text{л}$. Именно ему и соответствует $T_{\min}=300\ \text{К}$.
Из уравнения состояния выражаем количество вещества:
$$\nu=\dfrac{p_1 V_1}{R\,T_{\min}}.$$
Подставляем числа:
$$\nu=\dfrac{1{,}0\cdot10^{5}\cdot 3\cdot10^{-3}}{8{,}31\cdot 300}=\dfrac{300}{2493}\approx 0{,}12\ \text{моль}.$$
ν ≈ 0,12 моль