ID: 00017550
По гладкой горизонтальной плоскости по осям $x$ и $y$ движутся две шайбы с импульсами, равными по модулю $p_1 = 2$ кг·м/с и $p_2 = 3{,}5$ кг·м/с, как показано на рисунке. После соударения вторая шайба продолжает двигаться по оси $y$ в прежнем направлении с импульсом, равным по модулю $p_3 = 2$ кг·м/с. Найдите модуль импульса первой шайбы после удара.
Источник: ФИПИ
$p_1=2$ кг·м/с — импульс 1-й шайбы до удара (вдоль оси $x$);
$p_2=3{,}5$ кг·м/с — импульс 2-й шайбы до удара (вдоль оси $y$);
$p_3=2$ кг·м/с — импульс 2-й шайбы после удара (по оси $y$, в прежнюю сторону).
Найти: $p_1'$ — ?
Плоскость гладкая, внешние горизонтальные силы отсутствуют — значит, выполняется закон сохранения импульса для системы из двух шайб. Импульс — вектор, поэтому удобно работать по двум осям отдельно (как на рисунке: 1-я шайба идёт вдоль $x$, 2-я — вдоль $y$).
Суммарный импульс до удара по осям:
$$P_x=p_1=2\ \text{кг}\cdot\text{м/с},\qquad P_y=p_2=3{,}5\ \text{кг}\cdot\text{м/с}.$$
После удара. Вторая шайба продолжает двигаться по оси $y$ в ту же сторону, значит её импульс остаётся чисто вертикальным: $p_{2x}'=0$, $p_{2y}'=p_3=2$ кг·м/с.
По закону сохранения импульса суммарные проекции не меняются. Отсюда находим проекции импульса первой шайбы после удара:
$$p_{1x}'=P_x-p_{2x}'=2-0=2\ \text{кг}\cdot\text{м/с},$$
$$p_{1y}'=P_y-p_{2y}'=3{,}5-2=1{,}5\ \text{кг}\cdot\text{м/с}.$$
Почему так. Мы просто "вычли" из общего импульса то, что унесла вторая шайба — остаток достался первой. Это и есть закон сохранения импульса, расписанный по осям.
Модуль импульса первой шайбы — по теореме Пифагора (катеты $p_{1x}'$ и $p_{1y}'$):
$$p_1'=\sqrt{(p_{1x}')^2+(p_{1y}')^2}=\sqrt{2^2+1{,}5^2}=\sqrt{4+2{,}25}=\sqrt{6{,}25}=2{,}5\ \text{кг}\cdot\text{м/с}.$$
p₁′ = 2,5 кг·м/с.