ID: 00017534
Два моля идеального одноатомного газа переводят из состояния 1 в состояние 2, а затем — в состояние 3 (см. рисунок). Пунктирными линиями на диаграмме показаны изотермы. Определите, чему равно отношение количества теплоты $Q_{12}$, полученного газом при переходе из состояния 1 в состояние 2, к количеству теплоты $Q_{23}$, полученному газом при переходе из состояния 2 в состояние 3.
Источник: ФИПИ
$\nu = 2$ моль — одноатомный идеальный газ;
процесс $1\to2\to3$ на $pV$-диаграмме;
изотермы (пунктир): $T,\ 2T,\ 3T$.
Найти: $\dfrac{Q_{12}}{Q_{23}}$.
Смотрим на рисунок и читаем процессы по геометрии. Участок $1\to2$ — стрелка идёт строго вверх при том же объёме: объём не меняется, растёт давление. Это изохора. Участок $2\to3$ — стрелка идёт строго вправо на одной высоте: давление не меняется, растёт объём. Это изобара.
Теперь привязываемся к изотермам. Точка 1 лежит на изотерме $T$, точка 2 — на изотерме $2T$, точка 3 — на изотерме $3T$. То есть температура от 1 к 2 выросла с $T$ до $2T$ (на $\Delta T_{12}=T$), а от 2 к 3 — с $2T$ до $3T$ (тоже на $\Delta T_{23}=T$). Эти подсказки-изотермы и дают нам изменения температуры без чисел.
Главный инструмент — первый закон термодинамики: $Q = \Delta U + A$ (теплота идёт на изменение внутренней энергии плюс на работу газа). Для одноатомного идеального газа внутренняя энергия $U = \dfrac{3}{2}\nu R T$, поэтому её изменение $\Delta U = \dfrac{3}{2}\nu R\,\Delta T$ зависит только от изменения температуры.
Участок $1\to2$ (изохора). Объём постоянен, значит газ работу не совершает: $A_{12}=0$ (работа — это «давление, умноженное на изменение объёма», а объём стоит на месте). Тогда вся теплота идёт только на нагрев:
$Q_{12} = \Delta U_{12} = \dfrac{3}{2}\nu R\,\Delta T_{12}.$
Участок $2\to3$ (изобара). Здесь газ и нагревается, и расширяется, толкая поршень, то есть совершает работу $A_{23} = p\,\Delta V = \nu R\,\Delta T_{23}$. Поэтому
$Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = \dfrac{3}{2}\nu R\,\Delta T_{23} + \nu R\,\Delta T_{23} = \dfrac{5}{2}\nu R\,\Delta T_{23}.$
Поскольку $\Delta T_{12} = \Delta T_{23} = T$, множители $\nu R\,\Delta T$ одинаковые и сокращаются:
$\dfrac{Q_{12}}{Q_{23}} = \dfrac{\frac{3}{2}\nu R\,\Delta T_{12}}{\frac{5}{2}\nu R\,\Delta T_{23}} = \dfrac{3/2}{5/2} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6.$
Заметь: ни число молей $\nu=2$, ни конкретное значение $T$ в ответ не вошли — они сократились. Физический смысл прост: при изохоре всё тепло «оседает» во внутренней энергии, а при изобаре часть тепла газ ещё и «тратит» на работу, поэтому при одинаковом нагреве на изобару тепла нужно больше — отсюда отношение меньше единицы.
0,6