ID: 00017534
Два моля идеального одноатомного газа переводят из состояния 1 в состояние 2, а затем — в состояние 3 (см. рисунок). Пунктирными линиями на диаграмме показаны изотермы. Определите, чему равно отношение количества теплоты Q_{12}, полученного газом при переходе из состояния 1 в состояние 2, к количеству теплоты Q_{23}, полученному газом при переходе из состояния 2 в состояние 3.
Источник: ФИПИ
\nu = 2 моль — одноатомный идеальный газ;
процесс 1\to2\to3 на pV-диаграмме;
изотермы (пунктир): T,\ 2T,\ 3T.
Найти: \dfrac{Q_{12}}{Q_{23}}.
Смотрим на рисунок и читаем процессы по геометрии. Участок 1\to2 — стрелка идёт строго вверх при том же объёме: объём не меняется, растёт давление. Это изохора. Участок 2\to3 — стрелка идёт строго вправо на одной высоте: давление не меняется, растёт объём. Это изобара.
Теперь привязываемся к изотермам. Точка 1 лежит на изотерме T, точка 2 — на изотерме 2T, точка 3 — на изотерме 3T. То есть температура от 1 к 2 выросла с T до 2T (на \Delta T_{12}=T), а от 2 к 3 — с 2T до 3T (тоже на \Delta T_{23}=T). Эти подсказки-изотермы и дают нам изменения температуры без чисел.
Главный инструмент — первый закон термодинамики: Q = \Delta U + A (теплота идёт на изменение внутренней энергии плюс на работу газа). Для одноатомного идеального газа внутренняя энергия U = \dfrac{3}{2}\nu R T, поэтому её изменение \Delta U = \dfrac{3}{2}\nu R\,\Delta T зависит только от изменения температуры.
Участок 1\to2 (изохора). Объём постоянен, значит газ работу не совершает: A_{12}=0 (работа — это «давление, умноженное на изменение объёма», а объём стоит на месте). Тогда вся теплота идёт только на нагрев:
Q_{12} = \Delta U_{12} = \dfrac{3}{2}\nu R\,\Delta T_{12}.
Участок 2\to3 (изобара). Здесь газ и нагревается, и расширяется, толкая поршень, то есть совершает работу A_{23} = p\,\Delta V = \nu R\,\Delta T_{23}. Поэтому
Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = \dfrac{3}{2}\nu R\,\Delta T_{23} + \nu R\,\Delta T_{23} = \dfrac{5}{2}\nu R\,\Delta T_{23}.
Поскольку \Delta T_{12} = \Delta T_{23} = T, множители \nu R\,\Delta T одинаковые и сокращаются:
\dfrac{Q_{12}}{Q_{23}} = \dfrac{\frac{3}{2}\nu R\,\Delta T_{12}}{\frac{5}{2}\nu R\,\Delta T_{23}} = \dfrac{3/2}{5/2} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6.
Заметь: ни число молей \nu=2, ни конкретное значение T в ответ не вошли — они сократились. Физический смысл прост: при изохоре всё тепло «оседает» во внутренней энергии, а при изобаре часть тепла газ ещё и «тратит» на работу, поэтому при одинаковом нагреве на изобару тепла нужно больше — отсюда отношение меньше единицы.
Ответ: \dfrac{Q_{12}}{Q_{23}} = 0{,}6.
0,6