ID: 00017532
В магнитном поле с магнитной индукцией $B = 1$ Тл по рельсам равномерно едет проводящий стержень со скоростью $V = 5$ м/с. Рельсы замкнуты на катушку с индуктивностью $L = 2$ мГн. Спустя некоторое время в контуре течёт постоянный ток, энергия катушки при этом равна $W = 40$ мкДж. Найдите длину стержня $l$, если его сопротивление $R = 10$ Ом. Сопротивлением рельсов и проводов можно пренебречь.
Источник: ФИПИ
$B = 1$ Тл, $V = 5$ м/с, $L = 2$ мГн $= 2\cdot 10^{-3}$ Гн, $W = 40$ мкДж $= 4\cdot 10^{-5}$ Дж, $R = 10$ Ом. Найти длину стержня $l$.
Проводящий стержень скользит по двум горизонтальным рельсам, пересекая вертикальное магнитное поле $\vec B$ (стрелка вверх). Стержень едет со скоростью $\vec V$. Рельсы справа замкнуты на катушку (индуктивность $L$). Получается замкнутый контур: стержень-генератор + катушка + сопротивление стержня $R$.
Стержень, двигаясь поперёк поля, работает как батарейка: на нём наводится ЭДС индукции $\varepsilon = BlV$ (это ЭДС в прямом проводнике длиной $l$). Эта ЭДС гонит ток через контур.
Главная мысль про катушку: пока ток нарастает, катушка ему мешает (создаёт ЭДС самоиндукции). Но в условии сказано — «спустя некоторое время течёт постоянный ток». Постоянный ток ($I = \text{const}$) означает, что он больше не меняется, $\frac{dI}{dt}=0$, и катушка перестаёт сопротивляться: на ней нет падения напряжения, она ведёт себя как обычный провод. Значит вся ЭДС стержня в установившемся режиме падает только на сопротивлении $R$.
Закон Ома для контура в установившемся режиме:
$$I = \dfrac{\varepsilon}{R} = \dfrac{BlV}{R}.$$
Энергия, запасённая в катушке:
$$W = \dfrac{L I^2}{2} \;\Rightarrow\; I = \sqrt{\dfrac{2W}{L}}.$$
Сначала найдём ток:
$$I = \sqrt{\dfrac{2\cdot 4\cdot 10^{-5}}{2\cdot 10^{-3}}} = \sqrt{0{,}04} = 0{,}2 \text{ А}.$$
Из $I = \dfrac{BlV}{R}$ выражаем $l$:
$$l = \dfrac{I R}{B V} = \dfrac{0{,}2 \cdot 10}{1 \cdot 5} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4 \text{ м}.$$
Ответ: $l = 0{,}4$ м.
(Примечание методиста: в исходном сборнике указан ответ 0,04 м — это в 10 раз меньше; по строгой физике установившегося режима получается именно 0,4 м.)