Э/М Индукция (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00017532

Дано

$B = 1$ Тл, $V = 5$ м/с, $L = 2$ мГн $= 2\cdot 10^{-3}$ Гн, $W = 40$ мкДж $= 4\cdot 10^{-5}$ Дж, $R = 10$ Ом. Найти длину стержня $l$.

Что на схеме

Проводящий стержень скользит по двум горизонтальным рельсам, пересекая вертикальное магнитное поле $\vec B$ (стрелка вверх). Стержень едет со скоростью $\vec V$. Рельсы справа замкнуты на катушку (индуктивность $L$). Получается замкнутый контур: стержень-генератор + катушка + сопротивление стержня $R$.

Идея и почему

Стержень, двигаясь поперёк поля, работает как батарейка: на нём наводится ЭДС индукции $\varepsilon = BlV$ (это ЭДС в прямом проводнике длиной $l$). Эта ЭДС гонит ток через контур.

Главная мысль про катушку: пока ток нарастает, катушка ему мешает (создаёт ЭДС самоиндукции). Но в условии сказано — «спустя некоторое время течёт постоянный ток». Постоянный ток ($I = \text{const}$) означает, что он больше не меняется, $\frac{dI}{dt}=0$, и катушка перестаёт сопротивляться: на ней нет падения напряжения, она ведёт себя как обычный провод. Значит вся ЭДС стержня в установившемся режиме падает только на сопротивлении $R$.

Связываем величины

Закон Ома для контура в установившемся режиме:

$$I = \dfrac{\varepsilon}{R} = \dfrac{BlV}{R}.$$

Энергия, запасённая в катушке:

$$W = \dfrac{L I^2}{2} \;\Rightarrow\; I = \sqrt{\dfrac{2W}{L}}.$$

Сначала найдём ток:

$$I = \sqrt{\dfrac{2\cdot 4\cdot 10^{-5}}{2\cdot 10^{-3}}} = \sqrt{0{,}04} = 0{,}2 \text{ А}.$$

Находим длину

Из $I = \dfrac{BlV}{R}$ выражаем $l$:

$$l = \dfrac{I R}{B V} = \dfrac{0{,}2 \cdot 10}{1 \cdot 5} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4 \text{ м}.$$

Ответ: $l = 0{,}4$ м.

(Примечание методиста: в исходном сборнике указан ответ 0,04 м — это в 10 раз меньше; по строгой физике установившегося режима получается именно 0,4 м.)