ID: 00017532
В магнитном поле с магнитной индукцией B = 1 Тл по рельсам равномерно едет проводящий стержень со скоростью V = 5 м/с. Рельсы замкнуты на катушку с индуктивностью L = 2 мГн. Спустя некоторое время в контуре течёт постоянный ток, энергия катушки при этом равна W = 40 мкДж. Найдите длину стержня l, если его сопротивление R = 10 Ом. Сопротивлением рельсов и проводов можно пренебречь.
Источник: ФИПИ
B = 1 Тл, V = 5 м/с, L = 2 мГн = 2\cdot 10^{-3} Гн, W = 40 мкДж = 4\cdot 10^{-5} Дж, R = 10 Ом. Найти длину стержня l.
Проводящий стержень скользит по двум горизонтальным рельсам, пересекая вертикальное магнитное поле \vec B (стрелка вверх). Стержень едет со скоростью \vec V. Рельсы справа замкнуты на катушку (индуктивность L). Получается замкнутый контур: стержень-генератор + катушка + сопротивление стержня R.
Стержень, двигаясь поперёк поля, работает как батарейка: на нём наводится ЭДС индукции \varepsilon = BlV (это ЭДС в прямом проводнике длиной l). Эта ЭДС гонит ток через контур.
Главная мысль про катушку: пока ток нарастает, катушка ему мешает (создаёт ЭДС самоиндукции). Но в условии сказано — «спустя некоторое время течёт постоянный ток». Постоянный ток (I = \text{const}) означает, что он больше не меняется, \frac{dI}{dt}=0, и катушка перестаёт сопротивляться: на ней нет падения напряжения, она ведёт себя как обычный провод. Значит вся ЭДС стержня в установившемся режиме падает только на сопротивлении R.
Закон Ома для контура в установившемся режиме:
I = \dfrac{\varepsilon}{R} = \dfrac{BlV}{R}.
Энергия, запасённая в катушке:
W = \dfrac{L I^2}{2} \;\Rightarrow\; I = \sqrt{\dfrac{2W}{L}}.
Сначала найдём ток:
I = \sqrt{\dfrac{2\cdot 4\cdot 10^{-5}}{2\cdot 10^{-3}}} = \sqrt{0{,}04} = 0{,}2 \text{ А}.
Из I = \dfrac{BlV}{R} выражаем l:
l = \dfrac{I R}{B V} = \dfrac{0{,}2 \cdot 10}{1 \cdot 5} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4 \text{ м}.
Ответ: l = 0{,}4 м.
(Примечание методиста: в исходном сборнике указан ответ 0,04 м — это в 10 раз меньше; по строгой физике установившегося режима получается именно 0,4 м.)