ID: 00017531
На рисунке изображена система, состоящая из двух невесомых блоков (неподвижного и подвижного) и невесомой нерастяжимой нити. К концу нити прикреплён груз массой $m_1 = m$, а к оси подвижного блока жёстко прикреплён груз массой $m_2 = 3m$. Трение в осях блоков и о воздух отсутствует, свободные участки нитей вертикальны. В начальный момент все грузы покоятся и находятся на одной высоте, а затем их отпускают. В каком направлении и на какое расстояние $x_2$ по вертикали сместится груз $m_2$ спустя время $t = 0{,}5$ с после начала движения?
Источник: ФИПИ
$m_1 = m$, $m_2 = 3m$, $t = 0{,}5$ с, $g = 10$ м/с$^2$. Блоки и нить невесомы, трения нет. Найти направление и величину смещения $x_2$ груза $m_2$.
Сверху закреплён неподвижный блок (слева). Через него перекинута нить: с одного конца висит лёгкий груз $m_1$, с другого конца нить уходит вниз, огибает подвижный блок и снова поднимается вверх, где закреплена на потолке. На оси подвижного блока висит тяжёлый груз $m_2 = 3m$. То есть подвижный блок держится на двух нитках сразу — это ключ к задаче.
Нить одна и невесома, блоки невесомы — значит сила натяжения $T$ во всей нити одинакова. Подвижный блок висит на двух вертикальных участках нити, поэтому его вместе с $m_2$ тянут вверх две силы $T$, итого $2T$. Лёгкий груз $m_1$ тянет вверх только одна сила $T$.
Подвижный блок держат две нитки. Если он опустится на $x_2$, то каждая из двух ниток должна удлиниться на $x_2$, то есть «израсходуется» нить длиной $2x_2$. Эта нить может прийти только со стороны $m_1$, значит $m_1$ поднимется на $x_1 = 2x_2$. Отсюда и связь ускорений: $a_1 = 2a_2$ — лёгкий груз движется вдвое быстрее тяжёлого.
Запишем второй закон для каждого тела (вниз считаем положительным; предположим, тяжёлый груз идёт вниз):
Для $m_2$ с блоком: $3mg - 2T = 3m\,a_2$.
Для $m_1$ (он идёт вверх, $a_1 = 2a_2$ вверх): $mg - T = -m\,a_1 = -2m\,a_2$, откуда $T = mg + 2m a_2$.
Подставляем $T$ в уравнение для $m_2$:
$$3mg - 2(mg + 2m a_2) = 3m a_2 \;\Rightarrow\; 3mg - 2mg - 4m a_2 = 3m a_2.$$
$$mg = 7m a_2 \;\Rightarrow\; a_2 = \dfrac{g}{7} \approx 1{,}43 \text{ м/с}^2 \text{ (вниз)}.$$
Ускорение получилось положительным — значит тяжёлый груз действительно опускается. Смещение за время $t$ из покоя:
$$x_2 = \dfrac{a_2 t^2}{2} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{10}{7}\cdot 0{,}5^2 \approx 0{,}179 \text{ м} = 17{,}9 \text{ см}.$$