ID: 00017531
На рисунке изображена система, состоящая из двух невесомых блоков (неподвижного и подвижного) и невесомой нерастяжимой нити. К концу нити прикреплён груз массой m_1 = m, а к оси подвижного блока жёстко прикреплён груз массой m_2 = 3m. Трение в осях блоков и о воздух отсутствует, свободные участки нитей вертикальны. В начальный момент все грузы покоятся и находятся на одной высоте, а затем их отпускают. В каком направлении и на какое расстояние x_2 по вертикали сместится груз m_2 спустя время t = 0{,}5 с после начала движения?
Источник: ФИПИ
m_1 = m, m_2 = 3m, t = 0{,}5 с, g = 10 м/с^2. Блоки и нить невесомы, трения нет. Найти направление и величину смещения x_2 груза m_2.
Сверху закреплён неподвижный блок (слева). Через него перекинута нить: с одного конца висит лёгкий груз m_1, с другого конца нить уходит вниз, огибает подвижный блок и снова поднимается вверх, где закреплена на потолке. На оси подвижного блока висит тяжёлый груз m_2 = 3m. То есть подвижный блок держится на двух нитках сразу — это ключ к задаче.
Нить одна и невесома, блоки невесомы — значит сила натяжения T во всей нити одинакова. Подвижный блок висит на двух вертикальных участках нити, поэтому его вместе с m_2 тянут вверх две силы T, итого 2T. Лёгкий груз m_1 тянет вверх только одна сила T.
Подвижный блок держат две нитки. Если он опустится на x_2, то каждая из двух ниток должна удлиниться на x_2, то есть «израсходуется» нить длиной 2x_2. Эта нить может прийти только со стороны m_1, значит m_1 поднимется на x_1 = 2x_2. Отсюда и связь ускорений: a_1 = 2a_2 — лёгкий груз движется вдвое быстрее тяжёлого.
Запишем второй закон для каждого тела (вниз считаем положительным; предположим, тяжёлый груз идёт вниз):
Для m_2 с блоком: 3mg - 2T = 3m\,a_2.
Для m_1 (он идёт вверх, a_1 = 2a_2 вверх): mg - T = -m\,a_1 = -2m\,a_2, откуда T = mg + 2m a_2.
Подставляем T в уравнение для m_2:
3mg - 2(mg + 2m a_2) = 3m a_2 \;\Rightarrow\; 3mg - 2mg - 4m a_2 = 3m a_2.
mg = 7m a_2 \;\Rightarrow\; a_2 = \dfrac{g}{7} \approx 1{,}43 \text{ м/с}^2 \text{ (вниз)}.
Ускорение получилось положительным — значит тяжёлый груз действительно опускается. Смещение за время t из покоя:
x_2 = \dfrac{a_2 t^2}{2} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{10}{7}\cdot 0{,}5^2 \approx 0{,}179 \text{ м} = 17{,}9 \text{ см}.
Ответ: груз m_2 смещается вниз на x_2 \approx 17{,}9 см.