ID: 00017529
На шероховатой горизонтальной плоскости находится грузик, привязанный невесомой нерастяжимой тонкой нитью длиной r = 60 см к гвоздику, вбитому в плоскость. Коэффициент трения грузика о плоскость равен \mu = 0{,}1. Нить натягивают и грузику толчком в горизонтальном направлении, перпендикулярном нити, сообщают скорость V = 2{,}5 м/с (см. рис.). На какой угол \varphi повернётся нить к моменту остановки грузика?
Источник: ФИПИ
r = 0{,}6 м, \mu = 0{,}1, V = 2{,}5 м/с, g = 10 м/с^2. Найти угол поворота \varphi.
Грузик на горизонтальном столе привязан нитью к гвоздику в центре окружности. Толчок вбок (стрелка \vec V, перпендикулярно нити) запускает его по окружности радиуса r. Нить всё время натянута и тянет к центру — поворачивает скорость, но по величине её не меняет (перпендикулярна движению, работы не делает). Шершавый стол даёт силу трения по касательной против движения — она и тормозит грузик до полной остановки.
На горизонтали грузик прижат только весом, поэтому нормальная реакция N = mg, а сила трения F_{тр} = \mu N = \mu mg. Она направлена вдоль пути, значит её работа равна F_{тр}\cdot s.
Путь — дуга окружности: при повороте нити на угол \varphi (в радианах) грузик проходит s = r\varphi.
Вся кинетическая энергия идёт на работу трения (нить работы не совершает):
\dfrac{mV^2}{2} = \mu mg \cdot r\varphi.
Масса сокращается:
\varphi = \dfrac{V^2}{2\,\mu g\, r} = \dfrac{2{,}5^2}{2 \cdot 0{,}1 \cdot 10 \cdot 0{,}6} = \dfrac{6{,}25}{1{,}2} \approx 5{,}21 \text{ рад}.
В градусах: 5{,}21 \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} \approx 299^\circ.
Ответ: \varphi \approx 5{,}2 рад \approx 299^\circ.