ID: 00017529
На шероховатой горизонтальной плоскости находится грузик, привязанный невесомой нерастяжимой тонкой нитью длиной $r = 60$ см к гвоздику, вбитому в плоскость. Коэффициент трения грузика о плоскость равен $\mu = 0{,}1$. Нить натягивают и грузику толчком в горизонтальном направлении, перпендикулярном нити, сообщают скорость $V = 2{,}5$ м/с (см. рис.). На какой угол $\varphi$ повернётся нить к моменту остановки грузика?
Источник: ФИПИ
$r = 0{,}6$ м, $\mu = 0{,}1$, $V = 2{,}5$ м/с, $g = 10$ м/с$^2$. Найти угол поворота $\varphi$.
Грузик на горизонтальном столе привязан нитью к гвоздику в центре окружности. Толчок вбок (стрелка $\vec V$, перпендикулярно нити) запускает его по окружности радиуса $r$. Нить всё время натянута и тянет к центру — поворачивает скорость, но по величине её не меняет (перпендикулярна движению, работы не делает). Шершавый стол даёт силу трения по касательной против движения — она и тормозит грузик до полной остановки.
На горизонтали грузик прижат только весом, поэтому нормальная реакция $N = mg$, а сила трения $F_{тр} = \mu N = \mu mg$. Она направлена вдоль пути, значит её работа равна $F_{тр}\cdot s$.
Путь — дуга окружности: при повороте нити на угол $\varphi$ (в радианах) грузик проходит $s = r\varphi$.
Вся кинетическая энергия идёт на работу трения (нить работы не совершает):
$$\dfrac{mV^2}{2} = \mu mg \cdot r\varphi.$$
Масса сокращается:
$$\varphi = \dfrac{V^2}{2\,\mu g\, r} = \dfrac{2{,}5^2}{2 \cdot 0{,}1 \cdot 10 \cdot 0{,}6} = \dfrac{6{,}25}{1{,}2} \approx 5{,}21 \text{ рад}.$$
В градусах: $5{,}21 \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} \approx 299^\circ$.